0 引言
交叉口是道路交通的重要节点，车辆在交叉口处实现分流、汇合、转向，容易造成不同方向的车流冲突，严重时会导致交通事故。数据显示，国内道路交通事故中，在交叉口处的发生率大于50%[1]，且无信号控制交叉口的事故发生率大于信号控制交叉口，事故情况也更加严重[2]。随着智能网联技术的发展，车辆能实时采集并动态融合交通信息，这使得车辆与道路的协同管控以及自主安全控制成为可能。如何利用车辆的环境感知技术和车辆之间的信息交互功能，在保证安全的前提下，实现车辆在交叉口的冲突消解，提高交叉口通行效率，是目前学界和业界关注的热点[3-4]。其中，无信号控制交叉口由于缺乏信号灯引导车流秩序，其冲突消解问题更为复杂，亟待解决。
目前，已有大量关于无信控交叉口自动控制（Autonomous Intersection Control, AIC）模型的研究，其中基于预约机制的AIC模型受到广泛关注[5]。Dresner等人[6]首次提出基于预约的AIC模型，规定车辆通过V2I（Vehicle-to-Infrastructure）向智能网联环境下的交叉口控制中心上传自身通行请求，控制中心根据碰撞条件决定是否接受请求；马庆禄等人[7]针对无信控交叉口处的连续车流提出了一种协同控制策略，使得车队按照最小车头间距连续不停车穿过交叉口，从而提高交叉口的通行能力；Belkhouche等人[8]提出了非集中式的AIC模型以规避车辆冲突，并利用拉格朗日函数对模型进行求解；He等人[9]根据“先到先服务”规则对车辆的到达次序进行优化，从而实现各方向车辆均能无冲突通过冲突区域。部分学者也通过轨迹优化对车辆进行控制，如吴伟等人[10]采用圆曲线构建转弯车辆的行驶路径方程，建立了以交叉口总延误最小为目标的混合整数线性规划模型；王莹然[11]提出一种时空轨迹分布式规划方法，基于已完成时空轨迹规划的车辆信息对待规划的车辆求取最优安全速度；陈壮壮等人[12]以车队为单位，通过优化网联自动驾驶车队头车的速度轨迹，引导车队快速通过交叉口并减少油耗；张名芳等人[13]提出了一种基于周围车辆驾驶意图的自动驾驶汽车左转运动规划模型，利用相关向量机预测周围车辆的驾驶意图。
综上，上述的无信控交叉口自动控制模型大致可归为2类，分别为基于时序优化和基于轨迹优化的控制模型。基于时序优化的控制模型中，大多仅从时间维度对车辆通过冲突区的时序做出决策和优化，未考虑车辆自身的物理参数；基于轨迹优化的控制模型虽考虑了车辆的空间轨迹因素，但是大部分模型均围绕如何避免冲突去规划，缺少对路径平稳性的考虑，且缺乏对交叉口内部冲突的分析。针对上述问题，本文以智能网联汽车为研究对象，以无信控交叉口为研究场景，提出基于时序优化和轨迹优化的一体化优化控制模型，利用时序优化模型求解车辆通过冲突区的最优时序，以减少车辆停车等待时间，提高整体通行效率；并针对车辆急加减速的问题进行轨迹优化设计，将车辆在控制区的初始状态和末端状态作为状态变量，运用最优控制理论优化车辆纵向运动轨迹，以提升行车舒适性。
1 问题描述与模型假设
1.1 问题描述
传统的信号交叉口通常借助信号控制来避免不同方向车辆间的冲突。然而，车辆会因遭遇红灯需停车等待以及信号灯相位转换等情况而产生延误。在传统的无信控交叉口，车辆为避免与其他方向的车辆发生冲突，在到达停止线前需停车让行或减速通过，会导致交叉口延误增加。在智能网联环境下，交叉口远程控制中心可通过无线通信技术实时获取交叉口控制区域内的车辆信息，动态优化车辆进入冲突区的时序，并将指令反馈至车辆，车辆根据接收到的最优时序调整速度，实现不停车、依次交替穿插通过交叉口。考虑到车辆在速度调控过程中可能出现加速度突变问题，需进一步优化其行驶轨迹。
由于无信控交叉口交通量通常小于信号控制交叉口，故本文以双向2车道为例，研究智能网联环境下无信控交叉口4股直行车流之间的冲突消解模型，研究场景如图1所示。
1.2 模型假设
1）车辆在冲突区域内匀速行驶。
2）车辆均严格遵循最优时序到达策略，服从速度调控策略。
3）只考虑直行车辆，暂不考虑转弯、调头、换道等情况。
4）进入交叉口控制区域的车辆全部为智能网联汽车，控制区域的路侧配有完整的智能终端，且交叉口控制区域完全处于智能终端通信范围内；智能终端设备可对控制区域内的所有车辆实现位置、速度、加速度等信息的实时共享，不考虑时延的负面影响[14]。
1.3 路段功能划分
为了让车辆在进入冲突区域前有足够的时间和空间进行调整，将交叉口停止线前一定长度的路段设为控制区域，时序优化和轨迹优化均在该区域完成；并将交叉口内部车辆发生冲突的区域定义为冲突区域[15]。控制区域最小长度 应确保车辆以任意初始速度进入时，均具备充足的时间和空间来完成速度与轨迹等自主调控。因此，控制区域的长度需满足以下约束条件：
$L \geqslant \frac{v_{\max }^{2}-v_{\min }^{2}}{2|a|}$
式（1）中： 为控制区域最小长度，单位m； 和 分别为交叉口控制区域内的最大限速和最小限速，单位m/s； 为车辆根据优化策略调整时的加速度，单位m/s2。
2 冲突消解模型的构建
2.1 车辆冲突分析
式（2）中： 和 分别为车辆i到达冲突区域a和冲突区域b的时间，单位s； 为冲突区域a和冲突区域b起始线之间的距离，单位 ，本文取车道宽度； 为车辆i离开控制区进入冲突区的期望速度，单位 ；同理，所有方向的车辆到达冲突区域a和冲突区域b的时间都分别为 和 。
2.2 虚拟车队的构建
为保障车辆安全通过冲突区域，需对车辆到达交叉口冲突区域的时间间隔建立相应的约束关系。假设当前控制区段内有N辆车，车辆i需要与早于其进入控制区段的车辆均建立约束关系，至少需要建立 个约束条件，同时需对控制区域内的所有车辆进行检索以判断其是否为前车，算法较为冗杂。为简化算法，本文将各方向车流在一维空间中展开，因为本文未考虑转弯、调头的情况，所以每股车流只会与其相邻进口道的车流存在冲突，与对向车流不存在冲突。按照车辆进入控制区段的时间顺序依次将各方向车辆与其相毗邻方向的待优化车辆合并投影到1条虚拟车道上，建立1列虚拟车队，如图3所示[5]。图3中“时间”是指仿真时间，越靠近交叉口时间值越大，所以4个方向的时间轴箭头均指向交叉口中心；右侧的图例表示毗邻方向的车辆投影到虚拟车队后形成的队列。用 表示虚拟车队中的第 辆车， ， 为当前虚拟车队中的车辆总数。此时虚拟车队中的前车就是早于车辆 进入控制区段的车辆。虚拟车队中的任意2辆车之间均存在潜在冲突关系。因此，在虚拟车队中，从第2辆车起，车辆i（ ）都需要与它前方的所有车辆j（ ）建立约束关系。
2.3 时序优化模型的建立
2.3.1 目标函数
以车辆总延误最小为目标建立目标函数，将车辆延误定义为车辆实际通过控制区域的时间与理想状态通过控制区域的时间差，即目标函数为求取交叉口控制区所有车辆延误之和最小值，如式（3）所示：
$D=\min \sum_{i=1}^{N} d_{i}=\min \sum_{i=1}^{N}\left(t_{i}^{\mathrm{f}}-t_{i}^{\mathrm{p}}-t_{i}^{*}\right)$
式（3）中： 为目前控制区内车辆的总延误，单位s； 为车辆i的延误，单位s；N为当前控制区域内车辆总数； 为车辆通过控制区域的实际行程时间，单位s； 为车辆i经过优化处理后离开控制区域的时刻，单位s； 为车辆i进入控制区域的时刻，单位s； 为车辆i理论上通过控制区域的最小行程时间，单位s。
2.3.2 冲突约束
在本文中，冲突时间差的定义为：当前车辆行驶至冲突区域的时刻与下一辆车行驶至同一冲突区域的时刻之间的间隔。两车通过冲突区域的安全性随着时间差的增大而增加，为避免冲突，需对存在冲突的两股车流通过冲突区域的时间差建立约束条件。若两车冲突时间差的绝对值小于允许车辆通过的最小时间差，则其会在交叉口内部发生碰撞。因此，为规避存在潜在冲突的车辆在交叉口内发生冲突，冲突时间差的绝对值必须大于某一安全阈值。
1）针对相邻进口道通过冲突区域的车辆车头时距建立如式（4）~式（5）的约束：
式（4）~式（5）中： 为允许车辆通过冲突区的最小安全阈值，单位s； 为车道宽度，单位m； 为车辆长度，单位m； 为车辆j到达冲突区域a的时间，单位s。
>2）针对相同进口道的车辆，需要保证前后两车不发生碰撞，即：
式（6）中： 为前车j离开控制区域的时间，单位s； 为后车i离开控制区域的时间，单位s； 为智能网联车辆的安全跟车距离，单位m； 为车辆长度，单位m。
2.3.3 最小行程时间约束
车辆在控制区域内受到最大速度和加速度范围的限制。当车辆在控制区内以最大加速度加速至控制区域最大限速后匀速行驶一段时间，然后以最大减速度减速，此时车辆在行程时间 内行驶的距离为最大距离 ，此过程速度变化如图4所示。为保证车辆在行程时间内能行驶至冲突区域边界，需 。故，当 = 时，车辆的行程时间最小。
车辆在控制区域的行程时间 需满足以下约束[5]：
$t_{i}^{\mathrm{f}} \geqslant t_{i}^{\mathrm{p}}+\frac{L}{v_{\max }}+\frac{\left(v_{\max }-v_{i}^{\mathrm{p}}\right)^{2}}{2 a_{\max } v_{\max }}-\frac{\left(v_{\max }-v_{i}^{\mathrm{f}}\right)^{2}}{2 b_{\max } v_{\max }}$
式（7）中： 为车辆i进入控制区段的速度，单位m/s； 为车辆i离开控制区域的速度，单位m/s； 、 、 分别为控制区域内的最大速度（单位m/s）、最大加速度（单位m/s2）、最大减速度（单位m/s2）。
2.3.4 模型线性化
上述建立的模型为非线性规划问题，求解过程较繁琐，需将模型线性化转换以简化求解过程。模型中的冲突约束为一定条件下的“或问题”，可引二元变量 和大 法进行线性化处理，故式（5）转化为式（8）~式（9）：
式（8）~式（9）中： 为二元变量。
该时序优化模型最终如式（10）所示：
$\begin{array}{c}\quad \min \sum_{i=1}^{N}\left(t_{i}^{\mathrm{f}}-t_{i}^{\mathrm{P}}-t_{i}^{*}\right) \\\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}t_{i}^{\mathrm{f}}-t_{j}^{\mathrm{f}} \geqslant \frac{\partial+l}{v_{\mathrm{f}}} \\t_{i}^{\mathrm{f}} \geqslant t_{i}^{\mathrm{p}}+\frac{L}{v_{\max }}+\frac{\left(v_{\max }-v_{i}^{\mathrm{p}}\right)^{2}}{2 a_{\max } v_{\max }}-\frac{\left(v_{\max }-v_{i}^{\mathrm{f}}\right)^{2}}{2 b_{\max } v_{\max }} \\t_{i}^{\mathrm{b}}-t_{j}^{\mathrm{a}} \geqslant \frac{d+l}{v_{\mathrm{f}}}-M\left(1-\lambda_{i j}\right) \\t_{j}^{\mathrm{a}}-t_{i}^{\mathrm{b}} \geqslant \frac{d+l}{v_{\mathrm{f}}}-M \lambda_{i j} \\\lambda_{i j}=0,1\end{array}\right.\end{array}$
3 最优轨迹优化
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分之一，常被用于解决时变系统、线性系统、动力学系统中的问题。最优控制问题可描述为：针对一个受控系统的运动学系统或运动方程，在所有可行的控制方案中搜寻出一个最优方案。当运动系统从初始状态转变到目标状态时，通过该最优方案能使系统的性能指标达到最佳状态[16]。基于此，将进入控制区域的车辆按照最优时序驶入冲突区域的过程中看作一个受控的运动学过程，即车辆以初始状态进入系统，在某一固定时刻达到目标状态。本文将加速度相对于时间的导数作为控制变量，表示车辆加速度的波动，通过减少车辆行驶过程中加速度的波动来最大化行车舒适性，从而实现最优控制。
3.1 车辆轨迹优化模型
要解决最优控制问题，必须建立受控系统的状态方程（本文中为车辆的运动方程），并将其转化为受控系统的微分形式。当车辆驶入控制区域时，系统首先采集并记录其初始状态参数，包括速度、加速度以及时间参数。随后，基于时序优化模型计算得出的最优时序，系统对车辆实施速度调节控制，以确保其能严格遵循最优时序驶离控制区域。在此过程中，将车辆进入控制区域时的初始状态集合与驶离时的终端状态集合共同定义为状态方程的状态变量集，建立车辆的运动状态方程[17]，如式（11）所示。
$\dot{x}_{i}(t)=f\left(x_{i}(t), u_{i}(t), t\right)$
式（11）中：$\dot{x}_{i}(t)$为车辆状态函数 的导数， 是时间，单位s； 是车辆i在 时刻的状态函数（位移、速度、加速度随时间变化的关系式）； 为状态方程的控制输入，单位m/s3。
将状态方程转化为受控系统的一般形式，故状态方程可描述为：
$\left\{\begin{array}{l}\dot{p_{i}}(t)=v_{i}(t) \\\dot{v_{i}}(t)=a_{i}(t) \\\dot{a_{i}}(t)=u_{i}(t)\end{array}\right.$
式（12）中：$\dot{p}_{i}(t) $为行驶距离的导数；$\dot{v}_{i}(t) $为行驶速度的导数；$\dot{a}_{i}(t)$为加速度的导数； 、 、 分别表示车辆i在 时刻的速度（单位m/s）、加速度（单位m/s2）、控制输入（单位m/s3）。
在控制区域内，车辆动力学行为受到时序优化模型所定义的多维约束条件的严格限制。因此，必须在状态方程中引入相应的变量约束条件，以确保系统状态轨迹始终满足优化问题的最优性和可行性，如式（13）所示：
$\begin{array}{c}v_{\min } \leqslant v_{i}(t) \leqslant v_{\max }, a_{\mathrm{d} \max } \leqslant a_{i}(t) \leqslant a_{\max }, \\u_{\min } \leqslant u_{i}(t) \leqslant u_{\max }\end{array}$
式（13）中： 、 分别为控制区段内的最高限速和最低限速，单位m/s； 、 分别为控制区域内最大加速度和最大减速度，单位m/s2； 、 分别为控制区域内的最大控制输入和最小控制输入，单位m/s3。
车辆进入控制区域的初始状态方程和离开控制区域的目标状态方程如式（14）~式（15）所示：
式（14）~式（15）中： 为车辆i在控制区域的初始状态， 为车辆i在控制区域的末端状态， 为车辆i在 时刻的位置，单位m； 为车辆i进入控制区域的时刻，单位s； 为车辆i离开控制区域的时刻，单位s。
$J_{i}=\frac{1}{2} \int_{t_{i}^{0}}^{t_{i}^{\mathrm{f}}} w u_{i}^{2}(t) \mathrm{d} t$
式（16）中： 为车辆i轨迹优化的性能指标函数， 为权重值，本文取值为1。
3.2 模型求解
模型的求解过程可描述为：车辆从初始状态出发在预测的时间到达目标状态的过程中，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数求取极值的问题。为避免动态规划求解过程中出现的“维数灾难”，简化求解过程，本文构造哈密顿函数，利用庞特里亚金极值原理进行求解。
哈密顿函数构造如式（17）所示：
式（17）中： 为哈密顿函数； 为协态矢量； 为车辆i的状态方程； 为车辆i的目标函数。
利用Python中的Sympy库求解上述方程组，得到车辆i在控制区的最优控制解析式，如式（19）所示：
式（19）中： 为常数； 为车辆行驶时刻。
通过智能路侧设备实时获取车辆进出控制区域的状态信息，根据车辆i在控制区域的始末状态建立方程组便可求解常数 ，从而得到车辆在控制区域内的最优行驶轨迹。
4 仿真验证
4.1 仿真方案
4.2 不同交通量下的仿真结果分析
传统的无信号控制交叉口一般为2条双车道道路相交，承载交通量较大的为主路，交通量较小的为次路，采用的控制方式多为“主路优先、次路让行”或者“先到先服务”，会造成车辆延误增加、争抢优先权等问题。本文所提方法建模于每条道路具有同等优先权的基础上，能有效减少车辆延误并提高交叉口安全性。为验证无信控交叉口冲突消解模型在不同交通量下的优化效果，选取600 veh/h、700 veh/h、800 veh/h、900 veh/h、1 000 veh/h等5种不同的交通量进行仿真实验，并与传统的“先到先服务”控制方法进行对比。选取车辆平均行程时间、平均损失时间、平均停车次数以及车辆平均速度作为评价指标，输出的仿真结果如图6所示，结果对比如表2所示。
表2 仿真结果对比 |
| 车流量 /（veh/h） | 平均行程时间/ | 平均速度/（m/s） | 平均损失时间/ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 冲突消解模型 | 传统无信号 控制 | 变化率 （%） | 冲突消解 模型 | 传统无信号控制 | 变化率 （%） | 冲突消解模型 | 传统无信号 控制 | 变化率 （%） | |
| 600 | 9.023 | 15.169 | 41 | 12.787 | 7.751 | 39 | 2.019 | 8.323 | 76 |
| 700 | 9.046 | 15.657 | 42 | 12.755 | 7.532 | 41 | 2.049 | 8.814 | 77 |
| 800 | 9.150 | 18.556 | 51 | 12.608 | 6.540 | 48 | 2.164 | 11.716 | 82 |
| 900 | 9.768 | 99.388 | 90 | 11.753 | 1.677 | 86 | 2.845 | 92.529 | 97 |
| 1 000 | 9.886 | 116.429 | 92 | 11.602 | 1.328 | 89 | 2.964 | 109.549 | 97 |
注：平均行程时间和平均损失时间变化率=（传统无信号控制-冲突消解模型）/传统无信号控制；平均速度变化率=（冲突消解模型-传统无信号控制）/冲突消解模型。 |
由图6可知，在冲突消解模型的智能控制下，车辆通过交叉口的平均行程时间相较于传统无信号控制明显减少；车辆通过交叉口的平均速度也高于传统环境下车辆的平均速度；且车辆通过冲突消解模型获得的最优通过时序实现了不停车通过交叉口，有效规避了车辆在传统的无信号控制下停车等待的情况。
由表2可知，与传统无信号控制相比，本文所建模型依托智能网联车辆之间的信息交互技术，实时计算并反馈车辆通过交叉口的最优时序，使车辆能提前进行加减速，降低其在交叉口的停车次数和延误，平均行程时间、平均速度、平均损失时间均得到了较大改善。
1）行程时间。当交通量在600~800 veh/h时，冲突消解模型下车辆进入控制区并通过交叉口的平均行程时间稳定在9 s左右，相比于传统无信号控制提升了44.67%；随着流量的增加，2种控制方式下的行程时间都有所增加，但是在传统无信号控制环境下，随着流量增加会出现停车排队现象，故行程时间增长较快，而冲突消解模型下的行程时间增长趋势较为平缓。当交通量在900~1000 veh/h时，相比于传统无信号控制，冲突消解模型的平均行程时间降低了91%左右。
2）行驶速度和损失时间。在冲突消解模型的优化控制下，车辆始终处于前进状态，故车辆的平均速度和平均损失时间较为稳定。当交通量在600~800 veh/h时，车辆的平均速度提升了42.67%，平均损失时间降低了78.33%；当交通量在900~1000 veh/h时，车辆的平均速度提高了87.5%，平均损失时间降低了97%。
4.3 轨迹优化方法效果验证
由于本文提出的优化控制模型是在满足最优时序约束的条件下，通过整合轨迹优化与时序控制策略实现车辆运动轨迹的优化，故该模型与传统的单一时序优化模型在平均行程时间和平均损失时间方面未表现出显著差异，车辆在控制区域内的整体平均速度差保持在0.5~1 m/s。但在加速度特性方面，优化控制模型表现出明显的优势，其加速度波动范围在-1.3~0 m/s2，较单一时序优化模型（加速度波动范围为-2.2~0 m/s2）更为稳定。
采用最早由Hermann提出的加速度干扰评价方法[20]对行车舒适性进行定量分析。用车辆加速度与平均加速度的标准差表示加速度干扰，以描述车辆速度的波动程度。在冲突消解模型的控制下，车辆轨迹优化前后的加速度干扰值分别为2.436、1.084，轨迹优化后加速度干扰降低了55.5%。
5 结束语
本文针对车辆在无信控交叉口的冲突问题，提出了一种智能网联环境下的一体化优化控制模型，将车辆通过交叉口的通行时序与轨迹优化进行一体化处理，并将二维车队虚拟化，构建一维虚拟车队，建立车辆通过无信控交叉口的冲突消解模型，实现了车辆通过时序的全局高效优化。随后，基于最优控制理论对车辆的行驶轨迹进行优化，有效提升了行车舒适性。通过在SUMO仿真平台中模拟双向2车道无信控交叉口交通场景进行仿真验证，发现与“先到先服务”控制方法相比，本文所提的优化控制模型使车辆的平均行程时间和平均损失时间分别降低了44.67%和78.33%；且在最优轨迹的优化控制下，车辆的加速度干扰值降低了55.5%。说明本文模型有效改善了车辆的通行效率和行车舒适性。
本文仅对无信控交叉口单车道的4股直行车流进行了冲突消解分析，未考虑多车道场景下的冲突消解问题，后续会针对主路多车道场景进行研究，以提升模型的普适性。此外，由于仿真模拟方法的局限性，所提模型与实际的智能网联汽车驾驶算法有一定的差异，后续待实验条件允许时将在实车测试的基础上进行算法优化。
