0 引言
众多学者将提高跟踪精度作为路径跟踪控制的首要控制目标[3⇓-5]，谢宪毅等[6]基于MPC算法设计了考虑轨迹跟踪误差方程、目标函数和约束条件的轨迹跟踪控制器，在高速、高附着工况中取得了良好的控制精度；王笑等[7]通过试凑法选取预测时域和控制时域这两个重要参数，保证了一定的控制精度。虽然上述研究利用MPC算法都成功实现了路径跟踪控制，但未考虑到固定的控制参数在复杂工况中适应性较差、控制精度较低的问题。为解决这一问题，一些学者提出了针对MPC算法的自适应时域控制器，如Zhou等[8]使用遗传算法根据车速和道路类型等因素改进时域参数，有效减小了横向误差；吴长水等[9]通过灰色关联法确定不同车速下的最优预测时域，建立了预测时域随车速变化的半经验模型，提高了对不同车速工况的适应性；严国军等[10]根据参考轨迹曲率的变化自动调节预测时域，实现了较高的跟踪精度；李耀华等[11]通过建立综合评价指标体系和离线仿真，筛选出不同车速区间下的最优时域参数，实现了各种车速下的路径跟踪控制；范贤波等[12]根据实时横向车速和纵向车速确定最优时域参数，提高了控制精度和稳定性；胡珉珉等[13]根据实时车速并参考路径曲率，利用模糊控制算法确定最优时域参数，其控制精度和鲁棒性较好。除此之外，还有一些学者提出了自适应采样周期控制器，如Xue等[14]提出采样周期根据道路曲率自适应调节，有效平衡了跟踪精度与计算量；杨正艳等[15]设计了以冗余车辆状态参数为切换条件的自适应采样周期控制器，保证了控制精度和实时性。
上述研究对MPC算法做了各种改进，提高了路径跟踪控制的精度，但其大多在理想工况下进行，对低附着路面的关注不足。实际上，低附着路面在现实场景中出现频率较高。此外，现有研究考虑的控制参数较为单一，缺少综合考虑采样周期和时域参数的研究，而MPC控制器的跟踪控制精度是受采样周期和时域参数共同影响的，单一考虑采样周期或时域参数会导致控制精度受限。基于此，针对自动驾驶车辆在低附着路面路径跟踪控制精度较低的问题，本文以提高跟踪控制精度为首要控制目标，设计了基于车辆三自由度动力学模型和MPC算法的车辆路径跟踪控制器，在传统MPC控制器的基础上，添加了轮胎侧偏角约束，综合分析控制器的采样周期和预测时域对控制精度的影响，提出一种自适应采样周期和预测时域的控制策略，以提高路径跟踪控制器在低附着路面的跟踪精度。
1 车辆动力学模型建立
在为MPC控制器选择预测模型时，车辆模型应尽可能简化以提高计算效率，同时还需能准确描述车辆行驶状态。基于此原则，本文采用三自由度动力学模型（见图1）作为车辆的动力学模型。所谓三自由度，指的是车辆在x轴和y轴上的运动以及绕z轴的转动，忽略车辆悬架和空气阻力的作用，将汽车简化为“两轮自行车”模型，该模型较为简洁，便于进行推理分析，且计算速度快，具有较好的实时性。
如图1所示建立纵向、侧向和横摆的车辆三自由度动力学模型，图中 为大地坐标系， 为车身坐标系； 分别为质心到前后轴的距离； 为前轮转向角； 分别为车身坐标系下车辆的纵向、侧向速度； 为横摆角速度； 为前轮侧偏角； 分别为前轮、后轮受到的沿 轴方向的力； 分别为前轮、后轮受到的沿 轴方向的力； 分别为前轮、后轮受到的侧向力； 分别为前轮、后轮受到的纵向力； 分别为车身坐标系中前轮的速度、纵向速度和侧向速度。
根据牛顿第二定律，结合小角度假设和轮胎模型线性化处理，同时考虑车身坐标转换，可得到车辆动力学模型表达式[16]：
式（1）中： 为整车整备质量； 分别为车辆纵向、侧向加速度； 分别为横摆角、横摆角加速度； 分别为前轮、后轮的侧偏刚度； 分别为前轮、后轮的纵向刚度； 分别为前轮、后轮的滑移率； 为车辆绕 轴的转动惯量； 分别为大地坐标系下车辆的纵向、侧向速度；其余变量含义同图1。
2 MPC路径跟踪控制器设计
2.1 建立预测模型
对预测模型进行线性化和离散化处理，以提高MPC算法的计算效率。
将式（1）改写为状态空间方程：
式（2）中： 为状态量 ； 为控制量 ； 为输出量； 为输出矩阵。
将式（2）线性化和利用前向欧拉法离散化后，状态空间方程可改写为：
式（3）中： 为 时刻的状态量； 为 时刻的控制输入量； ； 分别为状态量和控制量的雅可比矩阵， 为单位矩阵， 为采样周期。
为对控制增量进行约束，使用控制增量 代替 约束控制量变化率，设 ，更新后的状态空间方程为：
式（4）中： ； ； ； ； 为控制量维度； 为状态量维度。
设预测时域为 ，控制时域为 ，对预测时域内控制输出进行迭代，得到输出矩阵 的表达式为：
其中：
2.2 约束条件
为使自动驾驶车辆能够平稳精准地跟踪参考路径，对控制量和控制增量进行约束（见式6），以保证路径跟踪控制精度和稳定性：
式（6）中： 分别为控制增量和控制量； 分别为控制增量的最小值和最大值； 分别为控制量的最小值和最大值。
车辆在低附着路面行驶时容易侧滑而导致路径跟踪控制效果较差，因此，为提高车辆行驶时的稳定性和安全性，需加入对前轮侧偏角、质心侧偏角、横向加速度的约束。
轮胎侧偏角 计算公式如下：
式（7）中： 为前轮侧偏角； 为后轮侧偏角。
根据前文所提的小角度假设，同时考虑低附着路面较差的附着能力，设置前轮侧偏角的约束为：
质心侧偏角 和横向加速度 的约束见式（9）。横向加速度约束若太小可能会导致求解失败，若太大又会影响乘客的舒适度，因此将横向加速度约束设置为软约束。
式（9）中： 为松弛因子。
2.3 目标函数
本文主要研究自动驾驶车辆路径跟踪控制精度提升问题，旨在控制自动驾驶车辆沿着给定的参考路径行驶，并尽量减小自动驾驶车辆实际行驶路径与参考路径之间的误差[17]。为使车辆稳定精准地跟踪规划路径，需在每个周期内对目标函数进行求解。目标函数定义如下：
式（10）中： 为优化目标；等式右边第一项 为实际输出量与参考输出量之差，该项的优化目的是减小路径跟踪误差；等式右边第二项 为控制量增量的大小，该项的优化目的是保证车辆的平稳性；为了防止出现目标函数无解的情况，加入第3项松弛项保证目标函数有可行解； 矩阵代表预测时域内系统跟踪误差所占权重； 为控制时域内控制增量所占权重； 为松弛权重； 为松弛因子。
综合分析目标函数和约束条件，可得到控制器的控制目标为：
式（11）中： 为硬约束输出， 分别为硬约束输出的最小值和最大值； 为软约束输出， 分别为软约束输出的最小值和最大值。软约束的作用是为了确保控制器在每个控制时域内都能得到可行解。
通过优化求解得到控制增量序列 ，将控制增量序列中的第1项作为控制增量作用于控制系统，在新的周期内，系统根据当前的状态量信息重新预测下一时刻的输出，并再次通过优化求解得到新的控制增量序列。重复上述过程，自动驾驶车辆就实现了路径跟踪控制。
3 自适应采样周期和预测时域控制策略
对于MPC控制器而言，由于控制器仅将控制增量序列中的第1个元素作用于控制系统，所以控制时域 的大小对控制器的影响较小。与控制精度关系较大的两个控制参数是采样周期 和预测时域 ，应对两者进行综合考量。因此，本文将对采样周期和预测时域展开深入研究，提出一种综合考虑采样周期和预测时域的MPC控制器，以提高控制精度。
3.1 自适应采样周期策略
3.1.1 采样周期对控制器的影响分析
采样周期是自动驾驶车辆的路径跟踪控制效果的重要影响因素，较短的采样周期意味着更高的采样频率，使得控制器能更迅速地回应外部干扰，从而提高控制精度，但过短的采样周期也会增大控制器的计算量，难以保证控制系统的实时性。相反，若采样周期过长，控制器则可能无法及时回应干扰，导致控制精度下降。因此，选择合适的采样周期对于提高控制器的跟踪精度至关重要。
为观察不同采样周期 对控制器的影响，采用Carsim和Matlab/Simulink联合仿真平台，设计了仿真实验，选择双移线作为参考路径。实验车的车速设置为30 km/h， 分别采用0.016 s、0.025 s、0.034 s，路面附着系数设置为0.3，其他控制参数均保持一致。仿真结果如图2所示。
3.1.2 自适应采样周期策略设计
根据上述分析发现，采样周期越短，控制精度越高。若车辆转向行驶时横向误差较大，可以选择较短的采样周期，增加控制器的计算量以提高转向时的跟踪控制精度；若车辆直线行驶时横向误差较小，可以选择较长的采样周期，通过牺牲直线行驶的控制精度来减少控制器的计算量，从而确保控制器能在较短时间内完成计算。这种自适应采样周期控制策略允许控制器根据行驶工况自适应调整采样周期，可在保证控制系统实时性的前提下，提高控制器的整体控制精度。
本文将车辆的前轮转角大于等于0.2°或小于等于-0.2 °时视为车辆转向行驶的工况，此时采样周期采用仿真实验中较小的0.016 s；当车辆的前轮转角大于-0.2 °且小于0.2 °时视为直线行驶的工况，此时采样周期采用较大的0.025 s。
本文设计的采样周期 与前轮转角 的对应关系如式（12）所示：
3.2 自适应预测时域策略
上节的控制器设计使得车辆直线和转向行驶时采用不同的采样周期，这些不同的采样周期在车速固定时对应的最优预测时域可能存在差异，因此本节在研究预测时域时应先确定采样周期。鉴于前文已指出车辆在直线行驶时误差较小，而在转向行驶时误差较大，本节将优先考虑车辆转向行驶时的预测时域设计。因此，本节在研究预测时域时，采样周期选用前文转向工况设计中的0.016 s，这样设计的自适应预测时域策略旨在确保车辆转向行驶时预测时域达到最优，从而提高转向行驶时的控制精度。尽管由于采样周期的改变，车辆在直线行驶时预测时域可能不是最优，会牺牲一部分控制精度，但直线行驶时误差本身较小，对整体控制精度的影响有限，而同时转向行驶时的控制精度得到了显著提升，从而提升了控制器整体控制精度。
3.2.1 预测时域对控制器的影响分析
过大的预测时域可以提升控制系统的预见性，但同时也会提高距离较远处的误差权重，从而增大距离较近处的跟踪误差，另外还会增加控制器的计算时间；过小的预测时域实时性较好，但是可能会导致控制系统的预见性较低，前轮转角无法及时转向从而导致路径跟踪控制的效果较差。
3.2.2 自适应预测时域策略设计
为提高控制系统的控制精度，应根据自动驾驶车辆的实时车速 来动态调整预测时域 的大小。
根据上文不同车速与最优预测时域的分析结果，本研究设计的预测时域 与车速 （单位：km/h）的对应关系如式（13）所示：
4 仿真实验验证
根据仿真实验得到表1所示的横向误差数据。
表1 横向误差数据 |
| 控制器 | 车辆行驶车速 /（km/h） | 最大横向误差 /mm | 平均横向误差 /mm |
|---|---|---|---|
| 固定控制参数MPC控制器 | 25 | 288.2 | 82.4 |
| 45 | 394.4 | 94.3 | |
| 自适应采样周期和预测时域 MPC控制器 | 25 | 148.0 | 38.1 |
| 45 | 353.6 | 76.5 |
由表1可以看出，车速为25 km/h时，与固定控制参数MPC控制器相比，自适应采样周期和预测时域MPC控制器的最大横向误差减小了140.2 mm，平均横向误差减小了44.3 mm；结合图5可知，两者的最大横摆角速度相差较小，均在10°/s以内，最大质心侧偏角均在1.7°以内。车速为45 km/h时，自适应采样周期和预测时域MPC控制器的最大横向误差相比于固定控制参数MPC控制器减小了40.8 mm，平均横向误差减小了17.8 mm；结合图6可知，两者的最大横摆角速度相差较小，均在15°/s以内，自适应采样周期和预测时域MPC控制器的最大质心侧偏角为1.35°，虽稍大于固定控制参数MPC控制器，仍在动力学约束范围内；由于采样周期的切换，自适应采样周期和预测时域MPC控制器的控制效果在局部有些许波动，但整体处在可接受范围内。
综上，相比固定控制参数MPC控制器，自适应采样周期和预测时域MPC控制器在不同车速下横向误差均更小，有更好的控制精度；稳定性指标均在合理范围内，保证了较好的车辆稳定性；设计的自适应策略也能确保控制器的计算量比较合理，保证了控制器的实时性。仿真实验结果证明，本文设计的自适应采样周期和预测时域MPC控制器在低附着路面有更好的控制性能。
5 结束语
针对自动驾驶车辆在低附着路面条件下的路径跟踪控制问题，本文设计了添加轮胎侧偏角约束的MPC控制器，提出了根据前轮转角调整采样周期、根据车速调整预测时域的自适应控制策略。仿真结果表明，在低附着路面条件下，与固定参数MPC控制器相比，改进后的MPC控制器在25 km/h和45 km/h车速下最大横向误差分别减小了140.2 mm和40.8 mm，平均横向误差分别减小了44.3 mm和17.8 mm；其在不同车速下路径跟踪控制精度均更高，横摆角速度和质心侧偏角均在合理范围内，可以保证车辆行驶时的稳定性。由于实验条件限制，本文仅通过仿真实验验证了所设计控制器的性能，下一步还可通过实车实验验证控制器的可行性。
