0 引言
近年来，全球各类突发灾害事件严重威胁人们的生命和财产安全。在自然灾害、事故等应急事件发生后，高效率的应急救援能够最大限度地减少损失、保障公众生命安全和社会稳定。通过应急物资的储备和运输，及时、有效满足不同灾区的应急物资需求是提高应急救援效率的关键一环。保障应急物资快速运输是提高应急救援效率的重要前提，然而突发事件导致的道路损毁、道路通行不畅等问题加剧了应急物资运输难度。因此，需综合考虑应急物资“储备-运输”过程中的不确定性因素和城市道路的交通拥堵限制因素，这些因素影响应急物资的及时运输和配送，进而影响应急救援工作效率。
目前，考虑应急物资需求不确定性的相关研究主要有多目标应急救灾选址-路径优化模型[1]、决策联动的应急物资调度优化模型[2]、多周期多目标应急物资配送优化模型[3]、应急物资多式联运路径优化模型[4]。应急物资调度过程中存在多个决策优化问题，涉及物资储备、物资分配与运输路线选择等方面，如何在有限的时间和资源条件下作出最优的调度决策，以确保物资能够有效地送达灾区，是一个关键而复杂的优化问题[5-9]。同时，突发事件致使道路拥堵而造成的运输道路通行中断、车流量限制等问题会阻碍应急物资快速、有序地运送到灾区，进一步加重灾害带来的不良影响。考虑交通拥堵的影响，相关文献给出的理论方法包括基于期望值目标的两阶段应急物资调度模型[10]、交通拥堵规避模型[11]、双目标随机混合整数非线性规划模型[12]、以最小拥塞概率为目标的机会约束规划模型[13]和多场景的两阶段应急物流模糊非线性规划模型[14]。
通过对已有文献的梳理可以发现，近年来相关研究工作聚焦应急物资运输过程中的道路通行状况和运输能力限制问题，这已成为研究应急物资调度配送问题的重要视角，但鲜有文献同时考虑应急物资“储备-运输”过程中的不确定性因素和城市道路的交通中断限制，并且未充分关注道路通行能力对应急物资调度决策的差异化影响。因此，本研究着眼于不确定性环境下应急物资“储备-运输”调度问题，考虑道路出现交通中断或车流量限制的情况，通过风险规避型量化测度和随机规划方法将此问题建模为两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型。第一阶段规划为灾前调度：开展应急物资储备仓库选址并储备应急物资，通过模型分析确定灾前应急物资储备仓库的最佳位置和储备数量。第二阶段规划为灾后调度：基于灾区的实际需求以及道路通行状况和运输能力限制的约束条件，选择具备运输能力的运输线路运送合适数量的应急物资，给出灾后应急物资的运输分配策略。本文构建的应急物资调度两阶段优化模型与既有研究提出的两阶段优化模型的区别在于：在已有文献重点关注的应急物资调度决策过程中不确定性因素基础上，同时考虑通往灾区的道路出现交通中断或车流量限制的约束因素，并探究道路通行能力对应急物资调度决策的差异化影响，使得应急物资调度决策更符合现实情况，避免选择严重拥堵的道路开展应急物资运输，或运输车辆数量超过道路设计容量，影响应急物资的配送效率。本文的研究思路如下：①以应急救援黄金时间内承担应急物资运输的道路因拥堵出现交通中断或车流量限制的情形为研究视角，构建应急物资储运调度动态随机优化模型，为决策者提供合理的灾前物资储备的选址布局、灾后物资的分配与运输等联合决策支持方案；②考虑应急物资调度策略的灾前布局和灾后运输分配过程中的不确定性因素，综合考虑应急事件“概率小、风险大、危害高”特征，基于均值-CVaR风险测度方法建立风险规避型两阶段应急物资“储备-运输”随机调度规划模型；③结合实际案例分析随机信息在应急物资调度优化模型中的有效价值，以及随机分布信息在运输道路不同拥堵程度下对应急物资调度策略的差异化影响，验证应用随机规划方法对道路交通中断限制背景下应急物资调度问题开展建模分析的有效性。
1 风险规避型应急物资储运调度动态随机优化方法
1.1 模型基本假设
本文旨在探讨不确定性环境下的应急物资调度优化问题，并考虑道路因拥堵出现中断或车流量限制的约束因素，以及如何在灾后道路交通拥堵效应下构建两阶段应急物资储备-运输随机规划模型，给出灾前/灾后应急物资的调度分配策略。本文模型假设如下：
1）各个应急物资需求节点的位置，以及节点之间运输路线和距离、运输时间等信息可通过地图软件和相关资料获取。
2）运输网络由受灾地区多个县级或市级行政区组成，运输网络中每一个节点既是灾区需求节点，也是潜在的应急物资储备仓库。
3）灾害发生后，道路上运输车辆的数量会显著增加，若超过道路设计容量会引发交通拥堵。
4）应急物资储备仓库具有储备容量的限制。同时，灾前储备在仓库中而灾后未进行运输的应急物资会带来过剩（持有）成本，灾前储备的应急物资未满足调度需求时会产生对应的短缺（惩罚）成本。
5）在分析道路的最大运输率时，忽略车辆速度、交通信号灯控制、道路设计、交通事故等影响道路拥堵程度的因素。
1.2 问题描述与模型建立
1.2.1 灾前调度决策
灾前调度决策为第一阶段规划决策，需要在灾害发生之前制定，包括从各个人口聚集数量较大的需求节点中选择建立应急物资储备仓库的节点，以及确定在每个应急物资储备仓库中存储的应急物资数量。第一阶段规划模型的参数和决策变量如下：
i：第i个灾区需求节点；
N：所有灾区需求节点的集合， $i\in N$ ；
(i, j)：从灾区需求节点i至需求节点j的运输路线；
A：所有运输路线(i, j)构成的集合， $(i, j)\in A$ ；
Fi：若在第i个需求节点选址建设应急物资储备仓库，所需的建设与运营费用；
h i：第i个需求节点预先存储单位应急物资所需费用；
Mi：第i个需求节点可储备应急物资的最大存储量；
yi：0-1二元决策变量，当yi=1时，表示选择第i个需求节点建设应急物资储备仓库；当yi=0时，表示第i个需求节点不选作应急物资储备仓库；
ri：第i个需求节点若选作应急物资储备仓库，其应存储的物资数量。
当第i个节点作为物资储备仓库选址时，此需求节点方可预先存储物资，并且预置存储量ri应不超过该节点应急物资的最大存储量，即第一阶段规划模型的约束条件为：
同时，第一阶段灾前调度产生的费用包括两部分，即部分需求节点选作应急物资储备仓库的选址建设与运营费用，以及在各个应急物资储备仓库预存应急物资的费用，可表示为：
1.2.2 灾后调度决策
灾后调度决策为第二阶段规划决策，此阶段需考虑应急事件的发生具有高度不确定性，决策受到不确定因素的影响。灾后调度需要基于灾区的实际需求和道路的交通拥堵状况，给出灾后应急物资运输分配决策，包括确定需求节点之间的运输路线及相应的运输数量，以及各个需求节点的库存分配（过剩或短缺）方案。第二阶段规划模型的参数和决策变量如下（其中，i∈N, (i, j)∈A）：
ρi：第i个需求节点储备应急物资的有效保存率；
u：单位应急物资的用车系数，即运送单位应急物资所需卡车的数量；
tij：运输路线(i, j)运输单位数量应急物资所需时间；
T：规划决策周期；
Bij：运输路线(i, j)当前的基础运输率；
Uij：运输路线(i, j)预设的最大运输率;
对每一个需求节点 $i\in N$ 而言，从其他所有需求节点j运输至需求节点i的应急物资、节点i的有效存储量、第i个节点的物资库存短缺数量三者之和应不小于从需求节点i运输至其他所有需求节点j的应急物资、节点i的平均需求量（期望值）、第i个节点的物资库存过剩数量之和，可表示为：
即
对于承载从需求节点i至需求节点j的应急物资运输路线(i, j)，相应的道路拥堵指数 ${\zeta }_{ij}$ 与运送数量xij之间的关系，按如下两种情形分析[9]。
1）当 ${B}_{ij}/{U}_{ij}{\zeta }_{ij}$ 时，表明此运输路线(i, j)具备运输条件，可以进行应急物资运输，但车流量需要根据道路设计容量和实际道路拥堵情况进行限制，即运输路线(i, j)上的应急物资运送数量xij与道路拥堵指数 ${\zeta }_{ij}$ 、当前的基础运输率Bij、预设的最大运输率Uij之间应满足如下关系:
2）当 ${B}_{ij}/{U}_{ij}\ge {\zeta }_{ij}$ 时，表明此运输路线(i, j)当前的车流量已超过此道路的最大设计容量，道路出现重度拥堵，则此运输路线(i, j)交通已中断，不具备运输条件，故 ${x}_{ij}\left(\xi \right)=0$ 。因此，关于此运输路线(i, j)的交通中断或车流量限制约束条件如下：
即
第二阶段规划模型需要考虑的决策内容包括各需求节点之间应急物资的运输数量，以及各个节点应急物资短缺或过剩的数量。因此，第二阶段规划模型决策变量 $\left({x}_{ij}\left(\xi \right),\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}{{z}_{i}}^{+}\left(\xi \right),\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}{{z}_{i}}^{-}\left(\xi \right)\right)$ 即灾后决策的基本约束条件为：
第二阶段调度决策需考虑不确定性参数的影响。第二阶段规划模型基于随机参数 $\xi $ 实现值进行应急物资分配，优化目标是使此阶段决策产生的总费用之和最小。因此，在获知随机参数 $\xi $ 实现值的条件下，第二阶段规划模型总费用包括配送应急物资的运输费用，以及所有需求节点储备的应急物资出现短缺或过剩的惩罚费用，即：
$\begin{array}{l} \text { 灾后调度总费用 }= \sum_{(i, j) \in A} c(\xi) \cdot t_{i j} \cdot x_{i j}(\xi)+ \\\sum_{i \in N}\left[p(\xi) \cdot z_{i}^{+}(\xi)+\right. \\\left.q(\xi) \cdot z_{i}^{-}(\xi)\right]\end{array}$
综上所述，应急物资“储存-运输”两阶段调度决策产生的调度总成本为第一阶段规划的存储费用与第二阶段规划的运输分配费用之和。第二阶段灾后决策受随机因素 $\xi $ 影响，因此需构建风险度量方法来实现不确定环境下调度总成本和相应成本风险的定量分析。
1.3 基于均值-CVaR目标的两阶段应急物资储备-运输调度随机规划
基于应急物资储运调度的风险规避型决策原则，本文构建均值-CVaR风险度量方法来刻画调度总成本的风险特征。均值-CVaR风险测度函数的定义如下:
$\begin{aligned}\mathrm{E}-\mathrm{CVaR}_{\alpha, \beta}[L(\boldsymbol{\xi})]= & (1-\beta) \cdot \mathrm{E}[L(\boldsymbol{\xi})]+ \\& \beta \cdot \mathrm{CVaR}_{\alpha}[L(\boldsymbol{\xi})]\end{aligned}$
式（11）中：α为风险水平参数；β为风险规避参数； $L\left(\xi \right)$ 为调度总成本函数； $\xi $ 为不确定参数。
$\mathrm{CVaR}_{\alpha}[L(\xi)]=\min _{\varphi}\left\{\varphi+\frac{1}{1-\alpha} \mathrm{E}\left[(L(\xi)-\varphi)^{+}\right]\right\}$
式（12）中： $\varphi $ 为（一维）辅助变量， $\left(L\right(\xi )-\varphi )$ +=max{ $L\left(\xi \right)-\varphi $ , 0}。
均值-CVaR风险测度属于一致性风险测度，其具有单调性、次可加性、正齐次性和平移不变性。
应急物资储运调度决策优化的目标是：在风险规避型决策原则下，使调度总成本和相应成本风险最小化。因此，基于均值-CVaR风险度量框架，此类应急物资调度优化问题的两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型形式如下：
$\min _{\boldsymbol{y}, \boldsymbol{r}} \mathrm{E}-\mathrm{CVaR}_{\alpha, \beta}\left[\sum_{i \in N} F_{i} y_{i}+\sum_{i \in N} h_{i} r_{i}+Q(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{\xi})\right]$
该模型的约束条件为式（1）、式（2）。其中， $Q(y, r, \xi )$ 为第二阶段运输分配函数，其定义如下：
$Q(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{\xi})=\min _{\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}^{+}, z^{-}}\left\{\sum_{(i, j) \in A} c(\xi) \cdot t_{i j} \cdot x_{i j}(\boldsymbol{\xi})+\sum_{i \in N}\left[p(\xi) \cdot z_{i}^{+}(\boldsymbol{\xi})+q(\xi) \cdot z_{i}^{-}(\boldsymbol{\xi})\right]\right\}$
式（14）的约束条件为式（5）、式（8）、式（9）。
此外，对模型作如下说明。
1）当均值-CVaR风险测度的风险规避参数β=0时，风险规避型两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型转化为两阶段应急物资调度优化的期望值模型[10]。
2）当均值-CVaR风险测度的风险规避参数β=1时，风险规避型两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型转化以调度总成本的CVaR最小化为目标的两阶段应急物资调度随机规划模型。
2 模型转化与信息价值分析
两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型（式（13）~式（14））的计算效率对模型的应用至关重要。此模型计算依赖于第二阶段运输分配费用函数 $Q(y, r, \xi )$ 的具体数值。由于计算函数 $Q(y, r, \xi )$ 的唯一方式是通过第二阶段规划模型（式（14））求解，而式（14）的计算依赖于随机参数 $\xi $ 的样本点信息，特别是在随机参数 $\xi $ 为连续型随机向量或具有高维样本点信息的离散随机向量时，两阶段随机规划模型是一类复杂的半无限规划（Semi-infinite Programming）问题，计算繁琐且难以快速求解。因此，需进一步探究两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型的性质，给出易于计算求解的等价模型形式。
2.1 等价的单阶段随机规划
定理1：两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型等价于如下单阶段随机混合整数规划模型：
$\min _{\boldsymbol{\theta}}\left\{\mathrm{E}-\mathrm{CVaR}_{\alpha, \beta}[H(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\xi})]\right\}$
$\begin{array}{c}\text { s.t. } \sum_{j:(j, i) \in A} x_{j i}+\rho_{i} r_{i}-z_{i}^{+} \geqslant \sum_{j:(i, j) \in A} x_{i j}+\mathrm{E}\left[d_{i}(\xi)\right]-z_{i}^{-} \\\forall i \in N\end{array}$
$u \cdot x_{i j} \leqslant T \cdot \max \left(0, \zeta_{i j} U_{i j}-B_{i j}\right) \quad \forall i, j \in A$
式（15）的约束条件为式（16）~式（18），以及式（1）~式（2）。模型中， $H(\theta, \xi )$ 为应急物资调度总成本函数，即
决策向量为θ=(y, r, x, z+, z-)。进一步，若随机参数ξ=(c(ξ), p(ξ), q(ξ), d1(ξ), d2(ξ),⋯, d|N|(ξ))为离散型随机向量，其离散值为 ${\widehat{\xi }}_{k}=$ ( ${\widehat{c}}_{k}, {\widehat{p}}_{k},$ ${\widehat{q}}_{k}, {\widehat{d}}_{1}^{k}, {\widehat{d}}_{2}^{k},\cdots, {\widehat{d}}_{\left|N\right|}^{k}$ )，每个离散值对应的概率为 $P\left\{\xi ={\widehat{\xi }}_{k}\right\}={P}_{k}$ , $k=1, 2,\cdots, K$ , 且 $\sum _{k=1}^{K}{P}_{k}=1$ ，则上述单阶段随机规划模型（式（15））可转化为如下0-1混合整数规划模型：
$\min _{\boldsymbol{\theta}, \varphi}\left[\beta \varphi+(1-\beta) \sum_{k=1}^{K} H\left(\boldsymbol{\theta}, \hat{\boldsymbol{\xi}}_{k}\right) P_{k}+\frac{\beta}{1-\alpha} \sum_{k=1}^{K} T_{k} P_{k}\right] \quad k=1,2, \cdots, K$
$\text { s.t. } \sum_{j:(j, i) \in A} x_{j i}+\rho_{i} r_{i}-z_{i}{ }^{+} \geqslant \sum_{j:(i, j) \in A} x_{i j}+\sum_{k=1}^{K} \hat{d}_{i}^{k} \cdot P_{k}-z_{i}{ }^{-} \quad \forall i \in N$
式（20）的约束条件为式（21）、式（22）以及式（1）、式（2）、式（17）、式（18）。
推论1：基于定理1中等价的单阶段线性模型（式（20））给出的最优值 ${\varphi }^{*}$ 和最优决策向量θ*，可计算应急物资储备-运输调度总成本的如下关键值信息：最优选址费用 $\sum _{i\in N}{F}_{i}{y}_{i}^{*}$ ，最优储备费用 $\sum _{i\in N}{h}_{i}{{r}_{i}}^{*}$ 。第二阶段灾后调度成本的平均值为：
$\mathrm{E}[Q(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{\xi})]=\sum_{k=1}^{K} P_{k} \cdot\left[\sum_{(i, j) \in A} \hat{c}_{k} \cdot t_{i j} \cdot x_{i j}^{*}+\sum_{i \in N}\left(\hat{p}_{k} \cdot z_{i}^{+^{*}}+\hat{q}_{k} \cdot z_{i}^{-*}\right)\right]$
应急物资调度总成本的风险值VaRα $\left[H(\theta, \xi )\right]=\sum _{i\in N}{F}_{i}{y}_{i}^{*}+\sum _{i\in N}{h}_{i}{{r}_{i}}^{*}+{\varphi }^{*}$ ，应急物资调度总成本的条件风险值为：
$\mathrm{CVaR}_{\alpha}[H(\theta, \xi)]=\varphi^{*}+\frac{1}{1-\alpha} \sum_{k=1}^{K} T_{k}^{*} \cdot P_{k}$
其中最优决策向量 ${\theta }^{*}=\left({y}^{*}, {r}^{*}, {x}^{*}, {z}^{+*}, {z}^{-*}\right)$ 。
2.2 随机分布的信息价值分析
将两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型（式（13）~式（14））或单阶段等价随机规划模型（式（15）~式（18））称为补偿问题（Recourse Problem, RP），其最优目标值体现了决策者利用模型在未事先给定随机变量 $\xi $ 概率分布的完备信息（具体离散值）条件下，做出最优的应急物资调度决策产生的调度总成本，将此目标值简记为RP。
完备信息的风险规避价值（Risk-Averse Value of Prefect Information, RAVPI）用于刻画在应急物资调度优化过程中，事先获知随机参数概率分布的完备信息（具体离散值）而产生的额外价值。
若事先获取随机参数 $\xi $ 概率分布的完备信息（具体离散值），使得RP问题基于所有的离散值信息可以求得新一类应急物资调度决策，则将此问题称之为RAWS（Risk-Averse Wait-and-See）问题，相应的最优目标值（调度总成本）简记为RAWS，其计算表达式为：
$\mathrm{E}-\mathrm{CVaR}_{\alpha, \beta}\left[\min _{\boldsymbol{\theta}} H(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\xi})\right]=(1-\boldsymbol{\beta}) \cdot \mathrm{E}\left[\min _{\boldsymbol{\theta}} H(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\xi})\right]+\beta \cdot \mathrm{CVaR}_{\alpha}\left[\min _{\boldsymbol{\theta}} H(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\xi})\right]$
当给定随机参数 $\xi $ 离散概率分布的第k个实现值 ${\widehat{\xi }}_{k}=\left({\widehat{c}}_{k}, {\widehat{p}}_{k}, {\widehat{q}}_{k}, {\widehat{d}}_{1}^{k}, {\widehat{d}}_{2}^{k},\cdots, {\widehat{d}}_{\left|N\right|}^{k}\right)$ ，则RP问题转化为如下RPk问题（0-1混合整数规划）：
$\mathrm{RP}_{k}=\min _{\boldsymbol{\theta}} H\left(\boldsymbol{\theta}, \hat{\boldsymbol{\xi}}_{k}\right)$
$\begin{array}{c}\text { s.t. } \sum_{j:(j, i) \in A} x_{j i}+\rho_{i} r_{i}-z_{i}{ }^{+} \geqslant \sum_{j:(i, j) \in A} x_{i j}+\hat{d}_{i}^{k}-z_{i}^{-} \\\forall i \in N\end{array}$
式（26）的约束条件为式（27）以及式（1）、式（2）、式（17）、式（18）。
式（26）中：
$\begin{aligned}H\left(\boldsymbol{\theta}, \hat{\xi}_{k}\right)= & \sum_{i \in N} F_{i} y_{i}+\sum_{i \in N} h_{i} r_{i}+ \\& \sum_{(i, j) \in A} \hat{c}_{k} \cdot t_{i j} \cdot x_{i j}+\sum_{i \in N}\left(\hat{p}_{k} \cdot z_{i}^{+}+\hat{q}_{k} \cdot z_{i}^{-}\right) \\& k=1,2, \cdots, K\end{aligned}$
将RPk问题的最优解记为 ${\theta }^{*}\left({\widehat{\xi }}_{k}\right)$ ，最优值记为 $H\left({\theta }^{*}\right({\widehat{\xi }}_{k}),\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}{\widehat{\xi }}_{k})$ ，并且有：
$\begin{array}{c}P\left\{\operatorname{RP}_{k}=H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}\left(\hat{\xi}_{k}\right), \hat{\xi}_{k}\right)\right\}=P_{k} \\k=1,2, \cdots, K\end{array}$
基于RAWS问题最优目标值计算表达式（式（25）），以及随机函数 $\underset{\theta }{min}\hspace{0.33em}H(\theta, \xi )$ 的每一个离散值 $H\left({\theta }^{*}\right({\widehat{\xi }}_{k}),\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}{\widehat{\xi }}_{k})$ 及其对应的概率Pk，可以得到RAWS问题的等价规划问题：
$\operatorname{RAWS}=\min _{\varphi}\left[\beta \varphi+(1-\beta) \sum_{k=1}^{K} P_{k} \cdot H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}\left(\hat{\boldsymbol{\xi}}_{k}\right), \hat{\boldsymbol{\xi}}_{k}\right)+\frac{\beta}{1-\alpha} \sum_{k=1}^{K} P_{k} T_{k}\right] \quad T_{k} \geqslant 0, k=1,2, \cdots, K$
$\text { s.t. } H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}\left(\hat{\xi}_{k}\right), \hat{\xi}_{k}\right)-\varphi \leqslant T_{k}$
其体现出决策者未获取随机参数 $\xi $ 概率分布的完备信息（具体离散值）条件下利用应急物资调度随机规划模型做出的最优决策（RP问题），与获取随机参数 $\xi $ 概率分布的完备信息（具体离散值）之后再利用应急物资调度随机规划模型做出的最优决策（RAWS问题）之间形成的调度总成本风险规避价值之差。
随机解的风险规避价值（Risk-Averse Value of Stochastic Solution, RAVSS）用于刻画在应急物资调度优化过程中，将不确定参数刻画为随机变量（具有概率分布），采用随机规划方法建模分析而产生的额外价值。
若事先获得随机参数 $\xi $ 的期望值信息，由此信息可将RP问题转化为期望值问题EVP (Expected Value Problem)，相应的最优值记为EV，相应的最优解 ${\theta }^{*}\left(\stackrel{-}{\xi }\right)=\left(\stackrel{-}{y},\hspace{0.33em} \stackrel{-}{r},\hspace{0.33em} \stackrel{-}{x},\hspace{0.33em} {\stackrel{-}{z}}^{ +},\hspace{0.33em} \stackrel{-}{z}{ }^{-}\right)$ 可由如下0-1混合整数规划模型求得:
$\mathrm{EV}=\min _{\boldsymbol{\theta}} H(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{\xi}})$
$\begin{array}{c}\text { s.t. } \sum_{j:(j, i) \in A} x_{j i}+\rho_{i} r_{i}-z_{i}^{+} \geqslant \sum_{j:(i, j) \in A} x_{i j}+\bar{d}_{i}-z_{i}^{-} \\\forall i \in N\end{array}$
式（32）的约束条件为式（33）以及式（1）、式（2）、式（17）、式（18）。其中：
$\begin{aligned}H(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{\xi}})= & \sum_{i \in N} F_{i} y_{i}+\sum_{i \in N} h_{i} r_{i}+\sum_{(i, j) \in A} \bar{c} \cdot t_{i j} \cdot x_{i j}+ \\& \sum_{i \in N}\left(\bar{p} \cdot z_{i}^{+}+\bar{q} \cdot z_{i}^{-}\right)\end{aligned}$
随机向量 $\xi $ 的期望值 $\overline{\xi }=(\stackrel{-}{c}, \stackrel{-}{p}, \stackrel{-}{q}, {\stackrel{-}{d}}_{1}^{}, {\stackrel{-}{d}}_{2}^{},\cdots, {\stackrel{-}{d}}_{\left|N\right|}^{})$ 。
基于EVP的最优解 ${\theta }^{*}\left(\stackrel{-}{\xi }\right)$ ，构造随机函数 $H\left({\theta }^{*}\right(\stackrel{-}{\xi }),\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\xi )$ ，并给出EVP解的风险规避价值（Risk-Averse Value of Using the EVP Solution, RAEVP），其计算表达式为：
$\mathrm{E}-\mathrm{CVaR}_{\alpha, \beta}\left[H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}(\overline{\boldsymbol{\xi}}), \boldsymbol{\xi}\right)\right]=(1-\boldsymbol{\beta}) \cdot \mathrm{E}\left[H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}(\overline{\boldsymbol{\xi}}), \boldsymbol{\xi}\right)\right]+\boldsymbol{\beta} \cdot \operatorname{CVaR}_{\alpha}\left[H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}(\overline{\boldsymbol{\xi}}), \boldsymbol{\xi}\right)\right]$
式（35）表示RP问题基于EVP给出的最优解而产生的调度总成本风险规避价值。在 $\xi ={\widehat{\xi }}_{k}$ 条件下， $P\left\{H\left({\theta }^{*}\right(\stackrel{-}{\xi }),\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\xi )=H\left({\theta }^{*}\right(\stackrel{-}{\xi }),\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}{\widehat{\xi }}_{k})\right\}={P}_{k}$ ，并且
$H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}(\overline{\boldsymbol{\xi}}), \quad \hat{\boldsymbol{\xi}}_{k}\right)=\sum_{i \in N} F_{i} \bar{y}_{i}+\sum_{i \in N} h_{i} \bar{r}_{i}+\sum_{(i, j) \in A} \hat{c}_{k} \cdot t_{i j} \cdot \bar{x}_{i j}+\sum_{i \in N}\left(\hat{p}_{k} \cdot \bar{z}_{i}^{+}+\hat{q}_{k} \cdot \overline{z_{i}}\right) \quad k=1,2, \cdots, K$
进一步，结合RAEVP问题的最优目标值计算表达式（35），RAEVP问题等价于下述0-1混合整数规划模型:
$\operatorname{RAEVP}=\min _{\varphi} \beta \cdot \varphi+(1-\beta) \cdot \sum_{k=1}^{K} P_{k} \cdot H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}(\overline{\boldsymbol{\xi}}), \hat{\boldsymbol{\xi}}_{k}\right)+\frac{\beta}{1-\alpha} \sum_{k=1}^{K} P_{k} \cdot T_{k} \quad T_{k} \geqslant 0, \quad k=1,2, \cdots, K$
$\text { s.t. } H\left(\boldsymbol{\theta}^{*}(\overline{\boldsymbol{\xi}}), \hat{\boldsymbol{\xi}}_{k}\right)-\varphi \leqslant T_{k}$
随机解的风险规避价值RAVSS的计算表达式如下：
其用于体现决策者利用应急物资调度随机规划模型基于EVP最优解形成的调度总成本风险规避价值(RAEVP)与考虑不确定参数为随机参数（具有概率分布）、采用随机规划方法利用应急物资调度随机规划模型做出的最优决策（RP问题）形成的调度总成本风险规避价值之差。
定理2： 应急物资调度优化问题的RP值与随机信息价值分析指标RAEVP、RAWS之间的关系为：RAWS≤RP≤RAEVP。
3 案例分析
表1 芦山地震灾区次生灾害类型及发生概率 |
| 灾害类型 | 崩塌 | 滑坡 | 地裂缝 | 堰塞湖 | 泥石流 | 塌陷 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 数量 | 537 | 689 | 1 | 1 | 96 | 13 |
| 概率 | 0.401 6 | 0.515 3 | 0.000 75 | 0.000 75 | 0.071 8 | 0.009 7 |
3.1 参数设置
将受灾害影响的30个地区设定为应急物资“储备-运输”调度优化过程相应的30个需求节点，并编号标记，如图1所示。根据文献[15]给出的救援物资形式和参数区间定义规则，以应急救援包形式配置应急物资，每一个单位应急救援包中包括供应100人的粮食、食用水、帐篷、大衣、棉被、盒饭、燃煤加热炉、折叠床八大类物资。给定每个应急物资储备仓库储备应急救援包的最大存储量Mi为10 000个单位，假设以5辆重型卡车组成的运输车队为运输载体，可运输1个单位数量的应急救援包，即u=5。引入表征道路每小时车流量的运输能力参数 ${\tilde{U}}_{ij}$ ，通过查阅文献[16]可知，城市快速路的单车道小时车流量为1 000辆次，高速公路的单车道小时车流量为1 750辆次，由此定义 ${\tilde{U}}_{ij}~U$ (1000, 1750)。基于四川省2013年各市区（县）人口数量统计和人均GDP数据，随机变量 $\xi $ 的各个分量及其他模型参数的取值区间如表2所示。
基于百度地图(https://map.baidu.com/)数据信息，可获取日常交通模式下运输车队在各个地区之间运输单位应急物资所需时间 ${\tilde{t}}_{ij}$ （两节点间单程最短运输时间）。为便于计算处理，本案例假定所有运输线路的道路拥堵指数均相等，即 ${\zeta }_{ij}=\zeta $ 。同时，设定需求节点间运输道路的3类不同交通路况模式，即畅通模式、日常模式和拥堵模式。3种路况模式下每个运输路线(i, j)的最大运输率Uij、基础运输率Bij、运输单位应急物资所需时间tij如表3所示。
表3 3类路况模式下的参数设置 |
| 路况模式 | Uij | Bij | tij |
|---|---|---|---|
| 畅通模式 | | | |
| 日常模式 | | | |
| 拥堵模式 | | | |
本文基于上述参数取值并设定不同的风险水平参数α和风险规避参数β取值，利用数学规划计算软件CPLEX 12.8.0求解风险规避型两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型（式（13）~式（14））的等价规划模型（式（20）），获得此应急物资“储备-运输”调度问题的灾前调度和灾后调度最优决策方案。
3.2 应急物资灾前-灾后调度决策分析
应急物资调度总成本包括灾前调度成本和灾后调度成本两个部分。其中，灾前调度成本包括物资储备仓库的选址建设费用和物资储备费用；灾后调度成本包括分配应急物资的运输费用，同时还包括所有需求节点因应急物资短缺或过剩而导致的惩罚费用。本文通过给定道路拥堵指数 $\zeta =0.05$ 、风险水平参数α=0.85和风险规避参数β=0.5，对3种不同路况模式下应急物资调度过程中的各个调度成本进行计算分析，并基于定理1的推论1给出调度总成本的各个关键值计算方法，求得应急物资最小调度总成本的风险值VaR，应急物资最小调度总成本的条件风险值CVaR，见表4。
表4 3种路况模式下的应急物资调度成本比较 单位：万元 |
| 路况 模式 | 灾前调度 成本 | 灾后调度成本 | VaR | CVaR | 合计 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 选址 费用 | 储备 费用 | 运输分配费用 | ||||
| 畅通模式 | 17.45 | 4.30 | 481.05 | 538.29 | 541.40 | 522.10 |
| 日常模式 | 21.70 | 5.40 | 477.81 | 570.80 | 574.11 | 539.51 |
| 拥堵模式 | 26.40 | 5.93 | 539.23 | 596.12 | 599.89 | 585.73 |
通过对不同路况模式下的应急物资调度总成本及关键值比较，得出以下结论：日常模式下的调度总成本比畅通模式下的总成本高17.41万元，拥堵模式下的调度总成本比畅通模式下的总成本高63.63万元。此差值不仅代表了道路交通中断或车流量限制造成的调度总成本额外增加的费用，还反映了决策者在缓解道路交通中断或车流量限制方面可获得的预期收益。这表明随着道路交通中断或车流量限制程度的加剧，应急物资调度总成本也会增加，同时调度总成本的风险值指标VaR和CVaR也随之增长。因此，在实际的应急物资调度过程中，道路交通中断或车流量限制会显著影响应急物资最优调度方案的制定。
灾后应急物资调度过程中，道路的交通状况会影响各个应急物资储备仓库的物资存量，可能导致物资短缺或运输量增加。表5给出了各个需求节点通过灾后应急物资调度产生的物资短缺量。可以看到，在3种不同路况模式下，各个需求节点储备应急物资的短缺量存在一定差距。在道路畅通模式下，有9个需求节点存在应急物资短缺，且每个节点的短缺量较少；道路处于日常模式下，有7个需求节点存在物资短缺，其中崇州市（需求节点24）和都江堰市（需求节点25）的短缺量较大；而在道路拥堵模式下，有24个节点存在物资短缺，且每个节点的短缺量相对较大。由此表明，灾后应急物资调度过程中，道路交通中断或车流量限制会使得应急物资的道路运输能力受到限制，并加剧运输成本增加。应急物资调度优化模型给出的最优决策通过减少需求节点的物资配置数量来缓解运输压力、降低调度总成本，从而使需求节点的物资短缺量更大。在道路畅通模式下，应急物资调度优化模型给出的最优决策依赖于灾后道路运输来满足各节点的物资需求，即倾向选择使用多条交通路线开展物资运输，虽然部分节点存在物资短缺的情形，运输费用有一定程度增长（表4），但有助于平衡物资运输需求和可用于运输的道路容量，有效缓解道路的运输压力并减少物资供应的延误，实现物资调度总成本最小化目标。因此，确保道路交通畅通是应对灾害、开展应急救援的关键手段。
表5 需求节点应急物资短缺量 |
| 编号 | 需求节点 | 物资短缺量 | ||
|---|---|---|---|---|
| 畅通模式 | 日常模式 | 拥堵模式 | ||
| 1 | 芦山县 | 3 420 | 1 061 | 9 112 |
| 2 | 汉源县 | 19 408 | 44 829 | 63 649 |
| 4 | 大邑县 | 10 252 | 27 432 | |
| 5 | 丹棱县 | 14 849 | ||
| 6 | 东坡区 | 82 963 | 80 609 | 97 893 |
| 7 | 峨边彝族自治县 | 14 609 | ||
| 8 | 峨眉山市 | 11 229 | 27 928 | |
| 9 | 甘洛县 | 3 446 | 19 723 | |
| 10 | 洪雅县 | 8 898 | ||
| 11 | 夹江县 | 10 934 | ||
| 12 | 金口河区 | 26 028 | ||
| 13 | 康定市 | 18 028 | ||
| 15 | 名山区 | 49 944 | 63 679 | 71 501 |
| 16 | 浦江县 | 64 430 | 44 255 | 89 781 |
| 17 | 邛崃市 | 39 668 | ||
| 18 | 石棉县 | 16 890 | ||
| 19 | 天全县 | 20 745 | ||
| 20 | 荥经县 | 14 444 | ||
| 21 | 雨城区 | 12 907 | ||
| 23 | 汶川县 | 31 347 | ||
| 24 | 崇州市 | 296 235 | 43 680 | |
| 25 | 都江堰市 | 289 347 | 81 663 | |
| 26 | 新津县 | 574 915 | 45 580 | |
| 27 | 彭山县 | 12 715 | ||
3.3 关键参数灵敏度分析
3.3.1 道路拥堵指数 $\zeta $ 灵敏度分析
通过前文可知，在应急物资运输道路整体处于交通中断或车流量限制状况下，应急物资调度总成本显著增加。为了有效控制应急物资调度总成本，需要缓解因道路交通中断或车流量限制而造成的成本增加。为此，本文对道路拥堵指数 $\zeta $ 进行灵敏度分析（给定参数α=0.55，β=0.5），以研究其与应急物资调度总成本的关系，如图2所示。
通过分析可得如下结论：
1）随着道路拥堵指数 $\zeta $ 的增大，应急物资调度总成本降低。由此说明，随着道路交通中断或车流量限制程度的缓解，调度总成本将会出现明显降低。
2）在3种不同的路况模式下，拥堵模式下的应急物资调度总成本明显高于日常模式和畅通模式。值得注意的是，在道路拥堵指数 $\zeta \in (0.3, 0.5)$ 时，拥堵模式下总成本的下降趋势更为显著。由此说明，当道路拥堵指数在特定的区间范围内，道路交通状况明显通畅，调度总成本会迅速下降。但随着道路拥堵指数进一步增大，道路拥堵程度的缓解达到所需运输应急物资的基本条件时，调度总成本的下降趋势不再显著或保持不变。
3.3.2 风险参数灵敏度分析
本文引入均值-CVaR风险测度方法来实现应急物资调度总成本的风险度量，其中风险水平参数α和风险规避参数β在调度总成本的风险量化中具有关键作用。为此，对风险水平参数α和风险规避参数β进行灵敏度分析，以研究其与应急物资调度总成本之间的关系，如图3所示。
通过分析可得如下结论：随着风险水平参数α和风险规避参数β的增大，调度总成本增加。在不同风险水平参数α条件下，调度总成本随风险规避参数β的增大而形成了差异化的增量变化，反映了不同风险水平参数α对调度总成本的影响程度。当风险水平参数α=0.05时，随着风险规避参数β的增大，调度总成本增加并不明显，说明在较低的风险水平参数α下，风险规避参数β对调度总成本的影响相对较小。当风险水平参数α=0.95时，随着风险规避参数β的增大，调度总成本增长趋势更为显著，意味着风险水平参数α越大，风险规避参数β对应急物资调度决策的影响越大，调度总成本也会随之变化。因此，通过合理设置风险水平参数α和风险规避参数β，可以实现对应急物资调度总成本的有效控制。
3.4 随机信息价值分析
本部分通过随机信息价值分析指标RAVPI和RAVSS，研究随机变量概率分布的完备信息（具体离散值）、随机规划方法在此案例应急物资调度优化过程中产生的额外价值。在不同风险水平参数α、风险规避参数β和道路拥堵指数 $\zeta $ 下，分别计算RP、RAWS、RAEVP和RAVPI、RAVSS以及RAVPI/RP、RAVSS/RP指标（如表6所示）。其中，RAVPI/RP指标表示完备信息的风险规避价值RAVPI相对于原问题的最优值（RP指标）所占比例，RAVSS/RP指标表示随机解的风险规避价值RAVSS相对于原问题的最优值（RP指标）所占比例。图4和图5分别展示了不同风险水平参数α和风险规避参数β的配置下, 道路拥堵指数 $\zeta $ 的增长变化对随机信息价值分析指标RAVPI和RAVSS的影响。
表6 随机分布信息价值指标计算结果 |
| 路况模式 | 分析指标 | α=0.65 | α=0.75 | α=0.85 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| β=0.3 | β=0.7 | β=0.3 | β=0.7 | β=0.3 | β=0.7 | ||
| | RP | 5 214 791.4 | 5 377 349.6 | 5 217 722.1 | 5 383 968.8 | 5 225 381.4 | 5 401 413.0 |
| RAWS | 5 160 252.9 | 5 335 193.7 | 5 116 351.9 | 5 162 560.4 | 4 944 676.8 | 4 761 576.3 | |
| RAVPI | 54 538.4 | 42 155.9 | 101 370.1 | 221 408.4 | 280 704.6 | 639 836.6 | |
| RAVPI/RP | 1.05% | 0.78% | 1.94% | 4.11% | 5.37% | 11.85% | |
| RAEVP | 5 760 911.8 | 5 947 122.1 | 5 764 156.5 | 5 954 495.4 | 5 772 487.9 | 5 973 526.5 | |
| RAVSS | 546 120.4 | 569 772.5 | 546 434.4 | 570 526.6 | 547 106.5 | 572 113.6 | |
| RAVSS/RP | 10.47% | 10.60% | 10.47% | 10.60% | 10.47% | 10.59% | |
| | RP | 5 193 125.2 | 5 353 165.5 | 5 195 976.0 | 5 359 795.9 | 5 202 688.3 | 5 375 439.1 |
| RAWS | 5 116 920.6 | 5 286 825.6 | 5 072 859.8 | 5 114 214.6 | 4 899 290.7 | 4 709 628.6 | |
| RAVPI | 76 204.6 | 66 339.9 | 123 116.2 | 245 581.3 | 303 397.7 | 665 810.5 | |
| RAVPI/RP | 1.47% | 1.24% | 2.37% | 4.58% | 5.83% | 12.39% | |
| RAEVP | 5 717 579.5 | 5 898 754.0 | 5 720 664.4 | 5 906 149.5 | 5 727 101.7 | 5 921 578.8 | |
| RAVSS | 524 454.3 | 545 588.4 | 524 688.4 | 546 353.6 | 524 413.4 | 546 139.7 | |
| RAVSS/RP | 10.10% | 10.19% | 10.10% | 10.19% | 10.08% | 10.16% | |
| | RP | 5 172 554.2 | 5 337 199.6 | 5 175 390.9 | 5 343 818.7 | 5 182 010.0 | 5 359 263.3 |
| RAWS | 5 051 536.1 | 5 246 634.6 | 5 005 861.3 | 5 072 912.4 | 4 831 199.9 | 4 667 127.7 | |
| RAVPI | 121 018.0 | 90 565.0 | 169 529.6 | 270 906.4 | 350 810.1 | 692 135.6 | |
| RAVPI/RP | 2.34% | 1.70% | 3.28% | 5.07% | 6.77% | 12.91% | |
| RAEVP | 5 652 195.0 | 5 858 563.0 | 5 653 665.8 | 5 864 847.3 | 5 659 011.0 | 5 879 077.9 | |
| RAVSS | 479 640.8 | 521 363.4 | 478 274.9 | 521 028.6 | 477 001.0 | 519 814.6 | |
| RAVSS/RP | 9.27% | 9.77% | 9.24% | 9.75% | 9.20% | 9.70% | |
分析上述图表数据，可以得出以下结论：
1）随机信息价值分析指标RAVPI随着道路拥堵指数 $\zeta $ 的增加而显著提高。由此说明，一方面，在道路交通中断或车流量限制条件下，通过获取随机变量概率分布的完备信息（具体离散值）无法显著改善调度决策、降低调度总成本，即在运输道路存在交通中断或车流量限制条件下开展应急物资调度决策优化问题分析时，决策者通过事先获取随机参数概率分布的完备信息（具体离散值）构建决策模型，并不能改善最优调度决策而产生更多的额外价值。另一方面，随着道路拥堵指数 $\zeta $ 增大，道路交通中断或车流量限制程度明显缓解，道路运输应急物资的能力随之增强，应急物资调度优化模型更依赖于随机分布的完备信息做出最优决策，因此RAVPI值随 $\zeta $ 增加而显著提升。因此，决策者可以根据道路拥堵的状况，权衡是否需要获取随机参数的完备分布信息，使得物资调度总成本最低。同时，通过观察表6中数据变化趋势可知，在风险水平参数α=0.85时，随着 $\zeta $ 的增大，体现RAVPI增长比重的指标RAVPI/RP显著增大，且明显大于在风险水平参数α=0.65和α=0.75情形下的数值。这表明当风险水平参数α较大时，随机变量概率分布的完备信息对于应急物资调度优化模型能够产生更多的额外价值。
2）随机信息价值分析指标RAVSS随着道路拥堵指数 $\zeta $ 的增大而显著减小。由此说明，一方面，当道路拥堵指数 $\zeta $ 较小时，道路出现交通中断或车流量限制程度明显，可选择的运输道路随之减少，应急物资运输处于高度复杂不确定环境，此情形下决策者选用随机规划方法对应急物资调度优化问题建模分析，能够降低调度总成本、获得更多的额外价值。另一方面，当道路拥堵指数 $\zeta $ 较大时，道路出现中断或车流量限制程度较低，应急物资运输路线方案较为明确，决策者可通过应急物资调度优化的EVP问题解获得较满意的调度决策，此情景下若仍采用随机规划方法对应急物资调度优化问题建模分析，相较于EVP问题而言，并不能获得显著的额外价值。因此，在道路出现交通中断或车流量限制的情况下，通过引入随机变量、采用随机规划方法开展应急物资调度优化问题建模分析，可以实现更低的调度总成本、获得更多的额外价值，能够在应急物资调度过程中为决策者提供更佳的决策方案。同时，通过观察表6中数据变化趋势可知，当道路拥堵指数 $\zeta $ 较小时，RAVSS在风险水平参数α=0.85时达到最大值；随着道路拥堵指数 $\zeta $ 逐渐增大，当道路拥堵指数 $\zeta =7$ 时，RAVSS在α=0.65时达到最大值，高于在风险水平参数α=0.75和α=0.85时的RAVSS值。这说明随着道路拥堵程度的缓解，风险水平参数α的变化会对RAVSS值产生一定影响。
综上所述，保障道路通行、缓解道路交通中断或车流量限制程度是提升救援效率、降低调度总成本的有效手段。在道路出现交通中断或车流量限制的情形下，决策者通过引入随机信息价值分析指标RAVPI和RAVSS，考虑不同风险参数α和β以及道路拥堵指数 $\zeta $ 的组合，可以更准确地评估随机信息价值和需要采用的差异化建模策略，为决策者提供更科学、更灵活的决策支持，确保应急物资调度决策的有效性，最大程度降低调度总成本，使应急物资调度任务能够更好地应对道路交通中断或车流量限制，以及不确定性环境带来的风险挑战。
4 结论
本文聚焦复杂不确定环境下应急物资灾前布局和灾后运输分配的调度优化问题，综合考虑道路交通中断或车流量限制条件，开展两阶段应急物资储备-运输调度优化方法研究，得到的主要结论如下。
1）基于均值-CVaR风险测度方法构建风险规避型两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型，以调度总成本最小化为目标，合理规划应急物资运输路线，优化应急物资“储备-运输”网络布局。
2）通过定理命题将两阶段应急物资储备-运输调度随机规划模型转化为等价的0-1混合整数规划模型，并给出随机信息价值分析指标RAVPI和RAVSS及相应的计算方法。
3）实际案例表明，道路交通中断或车流量限制将导致调度总成本显著增加，决策者可根据道路交通中断或车流量限制程度选择差异化的建模策略，充分利用随机变量概率分布的完备信息和随机规划建模方法获取更多的额外价值，从而改善调度决策、降低调度总成本。
未来的研究可以考虑将道路拥堵指数设为随机参数，制定相应的应急物资储运调度两阶段随机优化策略。此外，对于更大规模的应急物资调度问题，可设计相应的高效启发式求解算法，这也是值得进一步研究的问题。
