0 引言
车辆排队长度直观反映了城市道路信号控制交叉口的运行状况，为不同控制模式下信号控制方案的运行效果提供量化评价依据，也为方案实施后进口道车辆积压状况的改善程度、干线协调控制中绿波通行车辆受排队车辆阻碍状况的缓解程度以及相邻交叉口过饱和溢流现象缓解程度[1]等多种场景下的交通控制效果提供直观反馈。受检测设备和计算方法的影响，排队长度指标包含不同程度的计算误差，从而制约信控方案的准确评估和针对性优化，因此需要不断提升排队长度计算的精确度。国内外学者对车辆排队长度的计算主要基于概率估计模型、累积曲线模型以及冲击波模型。
概率估计模型是对车辆的到达和离去所服从的概率分布进行假设，然后基于历史观测数据对排队长度的分布函数参数进行估计，从而计算得到期望排队长度等统计结果[2]。Hao等[3]基于贝叶斯网络建立随机学习模型，进行了分周期的排队长度分布估算。张伟斌等[4]利用网联车轨迹历史数据中的排队长度频率分布，对实际排队长度分布进行了近似估计。Wei等[5]为了解决车辆到达率的先验分布获取问题，采用经验贝叶斯法，根据检测到的网联车位置与数量等信息估计到达率，并用极大似然估计法求解超参数估计问题。曹宁博等[6]在智能网联车与人驾车辆混合交通流环境下，构建了排队长度统计值与网联车渗透率的变量关系模型，通过滚动迭代法估计渗透率。由于概率估计模型属于宏观模型，忽略了车辆的具体排队过程，主要是从统计学的角度分析排队长度的平均水平，因此很难对复杂车辆到达规律下排队长度做实时评估。
冲击波模型是基于车流在不同行驶状态之间转换而形成交通冲击波的原理，利用排队与消散过程所形成的向上游传递的集结波与消散波图形的转折点位置，实现对最大排队长度的估计[10]，需通过在路段中间适当位置设置检测装置对交通流的流量、速度等状态的改变进行识别。例如，地磁检测器可以连续记录车辆经过检测器的起止时刻、相邻车辆占用间隔时长等指标[11]，根据检测数据的变化对交通流变化前后特征参数进行赋值。Yao等[12]总结了基础排队模式以及下游交叉口排队溢出时不同信号灯显示状态下排队过程所形成的各种复杂的冲击波组合形态，并分别推导出对应排队长度的计算方法。交通流状态变化点或冲击波拐点的识别也可以借助其他非感应式检测数据实现，如：Zhan等[13]利用车牌识别数据中车辆的时间戳信息，提出一种基于车道高斯过程的最大长度近似模型；王志建等[14]根据浮动车集群队列GPS轨迹数据对集结冲击波进行分段拟合，建立分段函数，计算最大排队长度；Ramezani等[15]通过对离散车辆轨迹数据聚集、冲击波分析、数据挖掘等技术的整合，对排队冲击波的时空位置进行估计。然而，当车辆轨迹数据的渗透率较低时，对冲击波线形的估计精度难以保证[16-17]。
综上所述，冲击波模型具有可形象描述车辆排队形成和消散过程的优点，但现有模型主要是基于定数冲击波理论[18]，即假设冲击波前后交通流具备稳定状态以及连续性特征。然而现实中，车流的到达并不存在一个特定的规律，而是复杂的随机过程，受上游不同方向来车的影响而处于实时波动的状态。识别交通状态变化的检测点多基于经验布置[19]，可能出现排队冲击波未传递到检测点而无法识别的情况，或是排队越过检测点时计算结果为理论限值而过于保守。鉴于此，为提高交叉口排队长度估计指标求解结果的精确性，考虑到城市交叉口处通过雷视、地磁等多种检测装置均可采集结构化的车辆检测数据，包括检测点处过车数、占有率等，本文将改进冲击波线形计算方法，以适用于描述车流到达波动规律为侧重点，以车道入口点车辆检测数据为输入，构建基于非定数冲击波理论的车辆排队长度分析模型，以期为提升信控方案评估以及信号配时调优工作效能提供理论依据。
1 问题描述
1.1 波动车流的排队过程及交通冲击波形成机理
通行条件变化会引起车辆行驶速度或交通密度等特征参数的改变，并在车流中形成冲击波的传播。例如，交叉口红灯启亮时车辆排队过程开始，车流中产生从相对自由行驶状态变为阻塞状态的排队累积冲击波；绿灯启亮且下游出口道不存在通行受阻时，车辆开始放行，车流中形成由阻塞状态变为饱和放行状态的冲击波。冲击波的传播速度由交通状态发生变化前后的交通密度和交通流量共同决定。当到达交叉口的交通流稳定且连续时，排队冲击波的波速保持不变，但实际场景中到达交叉口的交通流具有随机波动性，因此排队冲击波的波速也会实时变化。
如图1所示，从交叉口1到交叉口2的车流遇到红灯时所形成的累积排队冲击波为折线ABCD。折线中每个不同斜率的线段对应排队车辆的一种到达率。线段AB为南北直行方向车流的累积排队冲击波，其斜率主要根据上游交叉口绿灯时段南北直行方向车辆的到达率及速度确定。线段BC为上游交叉口南北直行相位红灯时段到达车流的累积排队冲击波，即上游交叉口东西方向左转车流的累积到达车辆排队冲击波。上游交叉口左转和直行车流的到达率不同，则折线段的斜率出现差异。线段CD为交叉口1南北直行方向车流在下一个周期的累积排队冲击波，当该周期的直行车流到达率发生变化时，线段CD的斜率也会区别于线段AB。即使处于同一绿灯或红灯时段，车流在更小的时间间隔内的到达率依然会动态变化，当折线中不同斜率的线段长度逐渐变小时，冲击波的线形将趋近于曲线。
1.2 典型的非线性冲击波构成场景
交叉口范围内不单是到达排队车流产生的冲击波。信号显示变换过程中冲击波的类型及组合形态各异，在确定车辆排队长度时要考虑不同冲击波线形下的车辆排队特点及相邻交叉口或相邻周期间排队的传递关系。交叉口内典型车辆到达排队场景及其冲击波构成如下。
场景一：过饱和条件下绿灯时段剩余车辆在下一周期红灯时段继续排队。
在排队冲击波形成初期，最先排队的车辆为上一周期内未放行的剩余排队车辆。最常见的情况是当进口道红灯时段排队较长，一个绿灯时段车辆未能全部放行时，由于这部分车辆是按照接近饱和流率到达停车线并开始排队的，因此所形成的排队冲击波线段的斜率比按常规到达流率到达排队的更大，如图2（a）中的冲击波线段FG。
场景二：下游交叉口溢出到本交叉口时未放行车辆继续排队。
车辆在绿灯时段未完全放行的另一种情形是：虽然上游到达流率不大，但下游出口道消散能力不足，因此车辆排队溢出到本交叉口时，绿灯时段车辆依然无法越过停车线，导致绿灯结束时仍有排队车辆剩余，这些车辆在下一个红灯时段也构成了排队冲击波中的初始片段。此外，当进口道存在较大的行驶干扰而导致延误增加，车辆在绿灯时段无法正常驶出停车线也属于类似场景。如图2（a）中的冲击波线段ED，绿灯时段本应不间断放行，并在F时刻产生排队，但由于进口道下游受阻，导致车辆在E时刻便开始排队。
场景三：本交叉口车辆排队溢出到上游交叉口继续排队。
当本交叉口绿信比较小或到达交通量较大等原因导致车辆排队溢出到上游交叉口时，会阻碍上游交叉口车辆的正常放行。若溢出出现在上游交叉口绿灯时段，则排队过程持续蔓延，此时实际排队长度计算需要跨越两个交叉口，导致在分析上游交叉口排队长度时对同一排队过程的重复分析。由于在场景二中已经考虑下游交叉口溢出到本交叉口时车辆的排队形成特点，因此本交叉口车辆排队过程只需判断是否溢出到相邻的上游交叉口，即排队长度是否接近路段长度，如图2（b）中的冲击波线段ABD，至于溢出车辆在上游交叉口的排队形态，只需在分析上游交叉口的排队过程时分别计算即可。因此，以每一周期为时间粒度，对各交叉口分别计算排队长度，可以在考虑排队跨路段传播的同时简化计算。
2 非定数交通流的排队长度分析模型
2.1 模型理论基础
式（1）中：Q为排队长度； , 分别为冲击波AB, CB的波速； , 分别为放行冲击波起始特征点C、排队冲击波起始特征点A的时间坐标。
若检测器2未检测出车辆的高占有率与低占有率之间有明显区别，则说明车辆排队队列没有传递至检测器2所在断面处，此时检测器2所处位置与交叉口停车线的距离即为排队长度估算值的上限。即使车辆排队队列越过检测器2，但由于交通流的不连续性，实际排队长度并非一定到达B点位置，因此也将该点到交叉口停车线的距离作为车辆最大广义排队长度的估计值。
2.2 模型构建
在非定数冲击波理论下，车辆到达率在所取时间段内实时发生变化，因此由式（1）计算得出的长度可能并非实际排队长度，还需要重新确定冲击波AB与CB的实际线形，由此确定车辆排队等待与放行状态变化规律，从而找出队尾的具体位置。
冲击波CB的线形比较简单，主要是排队车辆依次启动放行时由饱和流率所确定的直线。此直线斜率可以通过对排队车辆停止状态下的车辆间隔距离、车辆平均长度、车辆以饱和流率通行时的车速、饱和车头时距等参数的实地观测统计获得，并可对同类交叉口或入口道取值进行归类。累积排队冲击波则由于各周期内入口道车流到达、饱和情况的差异而相对复杂，如图3中虚线AHFIG所示，其线形应根据各统计时间段内车辆不同到达强度分别确定。因此，车辆检测器的统计时间间隔需要能够体现车辆到达率的实时变化特点（5~10 s即可）。此外，用于提供到达车辆数据的上游检测器的位置不应距离排队起始点太近，否则会因排队车辆的覆盖导致长时间被占用而无法获取车辆动态到达强度信息。实践中，检测器多布设在距离停车线5~30 m处。以停车线处为观测点的车辆检测数据为下游交叉口车辆是否排队溢出占用上游交叉口提供临界条件，因此能够较好满足实际需要。
当冲击波AB与CB的线形确定后，车辆实际排队长度可以表示为排队冲击波折线与消散冲击波近似直线之间交点的距离坐标，即图3中的E点。假设计算出排队冲击波折线特征点分别为 , ,…, ，消散冲击波特征点分别为 , ,…, ，每个特征点对应1辆排队车辆的到达停车及启动驶离的时间-空间信息，则排队长度计算模型如下：
式（2）~式（4）中： , 分别为排队冲击波、放行冲击波第n个特征点的时间、空间坐标；j为满足式 成立的特征点最小下标（在两条冲击波线形实际相交之前已经有多个特征点比较接近，表示有一部分车辆到达排队的瞬间立刻可以启动放行，是一种临界停车等待的状态，此时按照第一个最接近的特征点的空间坐标计算排队长度即可）； 为车辆处于临界停车状态的排队冲击波与消散冲击波之间的最小距离； 为当前交叉口r进口车道停车线处的空间坐标；L为平均车辆长度；k为当排队冲击波与消散冲击波特征点数量不同时，二者中的最小值； 为满足 这一条件的车辆总数。
3 基于非定数冲击波理论的排队长度算法
3.1 起算周期的选取
由于每一排队周期的剩余未放行车辆数会对下一周期的车辆累积到达过程以及排队长度的计算产生直接影响，因此从上一排队过程剩余车辆数为0的周期开始计算则误差影响较小。此时可以根据实际情况，确定排队长度计算的起算周期。例如，根据流量变化以及对应的交叉口车辆检测器在绿灯时段的数据特征寻找最近的欠饱和周期，该周期没有剩余车数，可以作为起算周期。
3.2 放行冲击波的线形算法
绿灯启亮后放行冲击波主要由排队车辆启动状态依次传播形成。通过将冲击波在车辆间传播的特征点连线，构建放行冲击波的完整线形。假设当前交叉口为r，令当前计算周期的序号为i，具体计算步骤如下。
Step 1：令当前放行冲击波的特征点集合为 ，初始化 ，根据式（5）~式（6）计算放行冲击波的特征点坐标 ，并更新集合 。
式（5）~式（6）中： , 分别为当前新构建特征点的空间、时间坐标； 为当前周期i的绿灯启亮时刻； 为交叉口r周期i绿灯启亮后，当前进口道停车线检测器第j条数据的检测时段开始时刻； 为第j条数据的检测车辆数； 为周期i绿灯时段内的检测数据记录数。
Step 2：根据式（7）~式（8）计算下一个放行冲击波特征点坐标。
式（7）~式（8）中： , 分别为集合 中最后加入的特征点空间、时间坐标；u为放行冲击波在相邻车辆间传递时的时间差；I为车辆停车后的平均间距。
Step 3：判断关系式 是否成立。若成立，则更新集合 ，转Step 2；否则，结束计算。
3.3 排队冲击波的线形算法
当考虑上游交叉口所有进口道到达车流对排队长度的影响时，首先对交叉口r当前计算车道对应的上游交叉口 相关车道车辆检测数据进行融合计算。检测范围包括：从 至r行驶方向的交叉口 各直行进口道的车辆到达数据，与 至r方向相交且驶入r的交叉口 左转方向及右转方向各进口道车辆到达数据。此外，从 至r的中间路段如果有其他出入口的车辆驶入r，且能够显著影响r进口道排队长度，还应统计该出入口处车辆到达数据。得到等效上游检测数据序列如下：
式（9）中： 为当前排队车道对应上游交叉口 第j个检测时段的等效检测车辆数， ； 为检测时段j所在周期序号； 为上游交叉口 中从 至r行驶方向直行车道检测车辆数； 为车辆驶出计算车道的变道比例； 为上游交叉口 中进入当前计算排队车道的其他转向车道检测数据中的车辆数；m为此类车道的数量； 为各车道车辆驶入计算车道的变道比例。
具体计算步骤如下。
Step 1：初始化周期i排队冲击波曲线特征点坐标集合 。由于车辆排队队列中上一周期未放行的剩余车辆最先排队，若上一周期剩余车辆数不为0，则根据式（10）~式（12）构建初始排队冲击波的特征点坐标序列，再将元素 加入集合 中。
式（10）~式（12）中： , 分别为所构建排队冲击波第n个特征点的空间、时间坐标； 为上一周期剩余车辆数；w为上一周期剩余车辆累积到达停车线排队形成的冲击波在相邻车辆间传递时的时间差； 为周期i车辆排队起始时刻。
一般为红灯启亮时刻，若因下游溢出等原因，导致周期 绿灯时段没有车辆放行，此时排队车道检测器占有率在绿灯时段会保持100%，则周期i没有产生新的排队冲击波，而是与周期 的排队冲击波相同。
Step 2：令Y为周期i排队过程中上一周期剩余车辆以外其他车辆进入排队车道准备排队的起始时刻，则Y的计算方法如下：
式（13）中： , 分别为集合 最后加入特征点的时间、空间坐标；e为车辆平均速度。
令K为交叉口 包含时刻Y的检测数据的序号， 为该检测数据所在周期序号，则K满足条件 ，初始化检测数据序号增加量 。
Step 3：判断第 个等效检测数据的检测时段中车辆数 是否成立。若成立，则令 ，返回并重复执行Step 3；否则，根据车辆数计算车辆的平均到达间隔Z。若当前检测数据采集时段包括绿灯启亮时刻 ，则车辆只能在绿灯启亮后通过检测断面，此时应以 为检测时段的起始时刻确定间隔Z。
判断Y与 的先后关系，若 ，则按式（14）计算第 个时段实际进入车道的车辆数：
式（14）中： 为第 个检测时段进入车道参与排队的车辆数； 为交叉口r-1周期τ起第K+d 个等效检测数据检测时段结束时刻。
当 时，还可将式（14）中的 用 替换。
若 ，根据车辆数 计算平均到达间隔Z。重置 ，以参数 和 中的最小值为上限构建排队冲击波的特征点的坐标。
Step 4：若 ，令 ，转Step 3；否则，计算第n个车辆对应排队冲击波的特征点时间坐标如下：
式（15）~式（16）中： 为第n个车辆通过检测器位置的时刻。
当 时，将式（16）中的 用 替换。
参考式（10）、式（11）计算第n个车辆对应排队冲击波的特征点空间坐标 。
Step 5：判断式（17）中是否至少有1个不等式成立，若是，则转Step 6。当排队车道组包含多条车道，根据车道组的数量以及均衡使用的原则，若当前特征点不满足对各车道的等量占用，直接转Step 4；否则，更新集合 ，令 ，转Step 4。
式（17）中： 为交叉口r当前周期i的绿灯结束时刻。
Step 6：根据集合 以及 中的特征点坐标，分别连接构成放行冲击波的近似直线以及排队冲击波折线，对两条冲击波按照式（2）~式（4）计算交点，得到交叉口r在周期i的排队长度。
Step 7：根据式（18）计算当前周期的剩余车辆数。
式（18）中： 为周期i的剩余车辆数； 为交叉口r在周期i的绿灯时段第j个检测间隔检测到的车辆数。
4 实例验证
4.1 基础数据及参数设置
4.2 结果分析
由于所测路段为三车道，且各车道的实际车辆到达规律并不完全相同，为了与3个车道排队长度平均值的统计方式保持一致，在此将定数冲击波计算理论中冲击波传播到路段检测点的时刻作为3个车道排队冲击波均到达检测点的时刻。在两组检测器位置下分别计算各周期定数冲击波排队长度与实测排队长度的绝对误差，可以发现，当路段检测器分别距停车线14 m及21 m时，基于定数冲击波理论的排队长度平均绝对误差分别为9.1 m和8.6 m。相比非定数冲击波计算模型，平均误差分别增加了5.3 m和4.8 m。
图8为非定数冲击波模型计算结果中折线特征较明显的3个周期的累积排队冲击波线形。各段斜率由上游等效到达车辆检测数据连续推算得出。相邻车辆到达间隔越长，所得折线段越趋于平缓；反之，当车辆到达密集程度增加时，折线相对陡峭且斜率变化频繁。
以第2周期和第5周期排队长度计算结果为例，得到车辆累积到达排队冲击波折线的非定数冲击波模型计算线形与实测车辆到达冲击波线形的对比，如图9所示。为了体现算法中车辆排队顺序与车辆实际到达排队顺序相匹配，同时考虑可能存在的误差，实测冲击波线形中特征点车辆序号与模型计算过程中参与排队特征点车辆序号间隔保持一致，且参与冲击波线形构建的首车为3个车道中实际参与排队的首车之一。由图9可知，车辆到达排队长度的增长速率虽然整体变化幅度不大，但也并非以单一斜率线性增长。非定数冲击波模型计算的冲击波线形与实测线形变化趋势一致。此外，即使个别车辆行驶速度有别于模型中的平均车速参数，导致计算出的排队长度增加速率与实测数据有偏差，但该偏差并不会积累，并且当后续参与排队车辆的车速与模型参数匹配时，能够及时消除线形偏差。
4.3 交通流量波动下的模型求解
将该仿真过程划分为4个时段，东西向为主干道方向，其车流量明显较南北向的大，各方向不同时段加载的交通量也有所不同，同时受到红绿灯交替显示的影响。从检测器的占有率及过车数据可以看出，各交叉口的到达交通量波动性非常明显，但由于还未达到较高的饱和度，因此暂未出现溢出现象，各检测器的占有率均未达到100%，即未检测到车辆长时间占用检测器的现象。
从车流开始放行到达到稳定的信号周期2开始起算，在仿真时间内以检测数据为输入，应用所构建的非定数冲击波模型算法对每个周期的排队冲击波以及放行冲击波的特征点坐标进行计算，得到各周期冲击波线形以及交点如图13所示。
从图13可以看出，根据检测数据计算出的车辆累积到达排队冲击波的线形近似曲线。其中，曲线较陡部分表示东西方向车辆密集到达，曲线较缓部分对应上游交叉口南北向左转车流较低的到达率。将冲击波线形与实际仿真过程车辆的到达规律进行对比，发现二者具有高度的一致性。
从图17可以看出，当交通流量发生变化时，各周期的排队长度也相应改变。所构建的非定数冲击波模型计算结果能够真实反映较高流量水平下车辆排队长度的变化趋势，对比仿真软件实测的排队长度，得出绝对误差平均值仅为7.63 m，约等于1辆车的车长加停车间隔距离。绝对误差大于10 m的排队长度计算结果仅有5个，占总数的17.8%。图中第19周期和第26周期的实际排队长度分别为189.13 m和188.01 m，接近溢出状态，而模型计算结果与实测结果非常接近，说明模型计算结果可以为实时防溢出控制提供依据。
从图18可以看出，随着交通流量的增加，相应周期内剩余车辆数也有所增加，尤其是当排队长度较长且下一周期放行受阻时，剩余车辆数显著增加。对比排队长度的计算结果与实际排队长度可以看出，所设计的模型算法能够较准确地评估各周期剩余车辆数，并为下一周期的排队长度计算提供计算基础。
5 结束语
本文基于交通冲击波理论，以逐周期为时间粒度，构建了车辆排队长度分析模型。对传统基于定数冲击波理论的建模思路进行改进，将累积到达排队冲击波的线形由线性变为非线性，并结合检测数据的格式特点，设计了冲击波折线的时空线形反推算法，从而在不对同一到达流向在路段额外增加检测器的条件下动态识别交通流状态的变化时机，克服了排队检测受检测器位置影响的局限性。
研究结果表明，累积到达排队冲击波的波形斜率对排队长度有直接影响。受信号显示、多流向交织等因素影响，交通流到达率会产生波动，而具备折线特性的累积到达排队冲击波线形能够反映车辆实际到达规律，为车辆队列尾部精确化定位提供依据。本文重点分析了基于检测器数据推导累积到达排队冲击波折线线形的算法原理及其有效性。在下一步研究中，给定多车道交叉口渠化条件，上游交叉口各流向到达车辆会选择不同行驶方向，在计算具体方向车道组排队长度时，对于各到达流向检测数据中驶入计算车道组的车辆比例，还需要从系统的角度研究合理取值方法。
